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时间：2021-11-22
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1、§4高维波动方程的柯西问题福州大学数学与计算机科学学院－江飞:183059505921.膜振动方程的导出*物理模型：弹性固体薄片.*理想化假设：b.膜的平衡位置在一平面内，膜上各点在垂直这一平面的方向上作微小振动，膜所受到的外力均与该平面垂直.c.膜是柔软的，它对弯曲形变不会产生任何抵抗力.a.膜可以视为一张曲面，密度均匀分布，设面密度为.*在理想化假设下的张力性质：薄膜上任一点的张力是常值.此时在膜上 点沿某方向作一个截口，则该膜位于两侧的部分分别对于对方有单位强度为 的拉力，拉力的方向与曲面法向垂直，又与 方向垂直.
2、下面我们取膜上一块小曲面进行分析，其投影记为.*推导想法：受力分析与冲量定理.*目标函数：相对于平衡位置位移.符号说明：为 的边界.为 的投影.为 在点的切线方向，为 在点的法线方向，为 的切线方向，为 的法线方向.回顾曲线切线与曲面切线方向：设曲线方程为则在 的切线方向为设其上任意曲线方程为设曲面方程为：将其代入曲面方程，并对两边关于 求导，可得设曲线方程为则在 的切线方向为故过曲面上点的切面的法向方向为满足的方程为：其曲面点的法线方向为张力 的方向与的方向一致.曲线逆时针方向为正(1)建立
3、方向矢量之间的关系.由于的方向为曲面 法线的方向可取为的方向为故 的方向可进一步取为故 的方向可取为其中由于 以及 都是小量，故曲线逆时针方向为正由此可知，张力 在垂直向上方向的分量是(2)建立小曲面所受到的冲量表达式.曲线顺时针方向为正故沿着曲线 积分，可得小曲面所受的张力合力为小曲面上所受外力的合力为所以在时间段 内作用于小曲面的冲量为(3)应用冲量定理.其导致的动量变化为*附二维分部积分公式格林公式（面积分化成曲线积分）:设是以光滑曲线为边界的平面单连通区域，函数和在及上连续并具有对 和 连续偏导数，
4、则成立下面我们以格林公式为基础推导二维分部积分公式，关于三维分部积分将在第三章进一步介绍.一维分部积分公式下面把第二曲线积分化成第一曲线积分：令则其中表示单位外法向量.注意到记则有涉及第一曲线积分与散度形式的格林公式:特别地,其中记并且曲线逆时针方向为正利用冲量定理可得假设利用格林公式及NL公式,可得从而其标准形式为其中称为自由项,受外力的振动称为强迫振动,无外力作用称为自由振动.膜振动方程(2D波动方程)2.定解条件的提法类似于弦振动方程,膜振动方程的定解条件同样有边界条件和初始条件.*初始条件*边界条件(1)第一类边
5、界条件:膜的边界固定或依照一已知函数随
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