柯西--黎曼方程的应用.docx

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1、2—0,则称(x,y)为在区域yD内的调和函数。定理三任何在区域D内解析的函数，其实部和虚部均为D内的调和函数，且满足柯西以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。柯西-黎曼方程的应用刘兵军在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部(或虚部)，利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部(或实部)，从而得到函数的表达式。定理一设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内一点xiy可导的充要条件是u(x,

2、y)和v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程uvuv-,-。xyyx定理二设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)定义在区域D内，则f(z)在D内解析的充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在D内可微，并且满足柯西--黎曼方程uvuv一?xyyx利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。2定义一如果实二元函数(x,y)在区域D内满足一2x例1判断下列函数在何处可导，在何处解析:(1)wz；⑵f(z)ex(cosyisiny);(3)wzRe(z)。解(1)u.y，一1，x0,—v,柯西--黎曼方程不满

3、足，故wyz在复平面内处处不可导且处处不解析。xx⑵uecosy,vesiny,xecosyexsin柯西--黎曼方程成立,(3)wzRe(z)仅当xyivexex(cosyxy—,柯西--黎曼方程不满足，故y0时,zRe(z)xyi仅在z设函数f(z)x2axyby2f(z)在复平面内处处解析?axyby2故当2xayax2bya2,b已知函数u(x,y)解由于f(z)u(x,y)y23x,v2xy3y(x),再由isiny)在复平面内处处解析。z在复平面内处处不解析。—,柯西--黎曼方程成立，故函数x0时可导，但在复平面内处处不解析。2.2i(cxdxyy2cxdxy2

4、cxdy2xaydxax2by,问常数a,b,c,d取何值时,2y2cxdy2时，函数在复平面内处处解析。3x，求v(x,y),使得f(z)u(x,y)iv(x,y)解析。iv(x,y)解析，u和v满足柯西-黎曼方程。由-u2xx3—,两边对y积分得yv2y/(x)得(x)c,其中c为常数。故v2xy3yc。例4已知函数v(x,y),求函数u(x,y),使得f⑵u(x,y)iv(x,y)解析。由于f(z)u(x,y)iv(x,y)解析，u和v满足柯西--黎曼方程。2xy(x2(x-2T2-，y)(x22xy2T2y)u(x,y)2xy(x2)2dyd(x2y2)(x22y

5、)g(x),再由—x-v得y2y22y)g/(x)222(xy)故g/(x)0,g(x)c,f(z)uivi/xy但通过对这些例题解以上例题展示了柯西--黎曼方程的各种应用方法，类似例题很多,的学习，有助于我们掌握柯西--黎曼方程的各种应用方法，把握其解题规律。