卡尔曼滤波(The

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1、第六章卡尔曼滤波（TheKalmanfiltering）通过前面几节内容的学习，我们知道维纳滤波是根据当前x(n)和过去全部的观测值x(n−1),x(n−2),L来估计信号的当前值s(n)，它的解形式是以均方误差最小为原则下的系统的传递函数H(z)或单位脉冲响应h(n)。而卡尔曼滤波不需要过去全部的观测值，它是根据前一个估计值sˆ(n−)1和最近一个观测值x(n)来估计信号的当前值sˆ(n)，它是用状态方程和递推方法进行估计的，因而卡尔曼滤波对信号的平稳性和时不变性不做要求。我们利用维纳滤波的模型引入到卡尔曼滤波的信号模型。第一节信

2、号模型6.1.1状态方程和量测方程要给出卡尔曼滤波的信号模型，先来讨论状态方程和量测方程。图5.11是维纳滤波的模型，信号s(n)可以认为是由白噪声w(n)激励一个线性系统A(z)的响应，假设响应和激1励的时域关系可以用下式表示：s(n)=as(n−)1+w(n−)1(6-52)1上式也就是一阶AR模型。在卡尔曼滤波中信号s(n)被称为是状态变量，用矢量的形式表示为S(k)，在k时刻的状态用S(k)表示，在k－1时刻的状态用S(k−1)表示。激励信号w(n)也用矢量表示为w(k)，激励和响应之间的关系用传递矩阵A(k)来表示，它是由

3、系11统的结构确定的，与A(z)有一定关系。有了这些假设后我们给出状态方程：S(k)=A(k)S(k−1)+w(k−1)(6-53)1上式表示的含义就是在k时刻的状态S(k)可以由它的前一个时刻的状态S(k−1)来求得，即认为k－1时刻以前的各状态都已记忆在状态S(k−1)中了。w(n)w1(n)A(z)s(n)w1(n)A(z)s(n)⊕x(n)图6.11维纳滤波的信号模型和观测信号模型卡尔曼滤波是根据系统的量测数据（即观测数据）对系统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需要量测方程。还是从维纳滤波的观测信号模型入手，图6.

4、11的右图，观测数据和信号的关系为：x(n)=s(n)+w(n)，w(n)一般是均值为零的高斯白噪声。在卡尔曼滤波中，用X(k)表示量测到的信号矢量序列，w(k)表示量测时引入的误差矢量，则量测矢量X(k)与状态矢量S(k)之间的关系可以写成X(k)=S(k)+w(k)(6-54)上式和维纳滤波的x(n)=s(n)+w(n)概念上是一致的，也就是说卡尔曼滤波的一维信号模型和维纳滤波的信号模型是一致的。把式(6-55)推广就得到更普遍的多维量测方程X(k)=C(k)S(k)+w(k)(6-55)上式中的C(k)称为量测矩阵，它的引入原

5、因是，量测矢量X(k)的维数不一定与状态矢量S(k)的维数相同，因为我们不一定能观测到所有需要的状态参数。假如X(k)是m×1的矢量，S(k)是n×1的矢量，C(k)就是m×n的矩阵，w(k)是m×1的矢量。6.1.2信号模型有了状态方程S(k)=A(k)S(k−1)+w(k−1)和量测方程X(k)=C(k)S(k)+w(k)1后我们