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时间：2021-11-24
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1、微分几何24直纹面与可展曲面(3)几种特殊的直纹面为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。为常向量，任意母线过一定点，为锥面。为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面3、直纹面的法向量与高斯曲率（1）由得（2）当P点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下：a)，法向量改变方向.b)，法向量不改变方向，即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。首先可以这样理解：对每一固定的，方程组（4）代表曲面和曲面的交线，而判别曲面是这些交线所产生的，因此，上的每一点决定一个的值，而点的坐标以及所对
2、应的值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的值适合（4），因此S属于。再证属于S。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对的某个值满足方程在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：代入（4）式第一式中，然后关于t求导，则有但由（4）第二式，所以即P点的法线和上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意性，与在P点相切，这就说明了的点也是的点。因此，属于S。所以(3)特征线包络S与族中的曲面相切的曲线称为特征线，因而当固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲
3、面沿特征线切于包络。（4）命题2：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络。证明：充分性：设单参数平面族为则特征线方程为它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的。由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线上所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的。必要性：设曲面可展。由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲线，所以对于可展曲面，它的直母线就是v线（u=常数），
4、当u变化时，得到v线族，所以可展曲面可以看成是由单参数u的直母线族所构成的，即可展曲面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络。4、命题3：一个曲面是可展的充分必要条件是高斯曲率为零。证明：如果曲面是可展的，则沿一条直母线的单位法向量保持不变，即为常向量，故。但零向量与任意向量共线，所以，由主方向判别定理，沿直母线的方向为主方向，并
5、且直母线方向上的主曲率为0，于是有K=k1k2=0。一个，曲面由这些曲线组成，所以曲面是一个单参数族的包络面，因而是可展曲面。反之，若K=k1k2=0，则两主曲率至少有一为0，设k2=0，由于为主曲率，所以对应的方向为主方向，但它又是法曲率，说明这个方向是渐近方向，所以这一
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