高中数学开放题赏析（通用）

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1、高中数学开放题赏析题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。解：分三种情形第一种情形　从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，∴AB，BC，AC的长分别为在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC===＞0∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△ABC是等边三角形，⑥正确。第二种情形如图2，∠

2、ADB=∠ADC=∠DBC=900∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面DBC∴BD是AB在平面DBC上的射影。由三垂线定理知，BC⊥AB∴第四个面△ABC是直角三角形。①正确。第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB=＜0∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。注：此题是一道高考模

3、拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。（注：第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。题目2：设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。（I）证明：＜lgSn+1；（II）假设存在常数C＞0，使得成立？并证明（1995年全国高考题）。解：（I）证明略。得出Sn·Sn+2＜Sn+12。  （II）假设存在常数C＞0，使得成立？并证明你的结论

4、。  Sn－c＞0①Sn+1－c＞0②Sn+2－c＞0③(Sn－c)(Sn+2－c)=(Sn+1－c)2④由④得 SnSn+2－Sn+12=c(Sn+Sn+2－2Sn+1)⑤由重要不等式及①②③④知Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn―c）+（Sn+2―c）―2（Sn+1―c）≥2因为c＞0，故⑤式右端非负，即SnSn+2－Sn+12≥0。而由（I）的证明可知SnSn+2－Sn+12＜0，产生了矛盾。故不存在常数，c＞0，使评析：这是一个台阶试题，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究

5、竟中是否存在常数c＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。题目3:设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，是否存在常数C，使数列也成等比数列？若存在，求出常数C；若不存在，请说明理由。讲解:存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的。设存在常数C，使数列成等比数列