基于流形结构的相对尺度化降维方法研究

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1、基于流形结构的相对尺度化降维方法研究（申请清华大学理学硕士学位论文）培养单位：数学系学科：数学研究生：杨雨珩指导教师：白峰杉教授二〇一七年五月RelativeDimentionalityReductionMethodsbasedonManifoldStructureThesisSubmittedtoTsinghuaUniversityinpartialfulfillmentoftherequirementforthedegreeofMasterofScienceinMathematicsbyYangYuhengThesisSupervisor:ProfessorBaiFe

2、ngshanAssociateSupervisor:May,2017摘要摘要在现今这样一个信息爆炸的时代，数据降维处理方法的研究占据了现代数据科学领域中一个非常重要的位置。随着现代数据规模与维度的不断增加，无论是在数据的除噪、精炼，还是高维数据的可视化分析领域，数据降维算法都具有极大的实用意义。而随着时代不断演进，数据降维算法也衍生出了种类繁杂的各种分支。其中，Isomap算法作为非线性降维（流形学习）类算法中最为经典的方法，因其在解决数据非线性结构上的创造性工作，受到了学者、与数据科学界的广泛应用与关注。Isomap算法的核心在于通过数据局部连通图上的最短路算法来模拟流

3、形内部的距离，从而成功地摆脱了传统算法中隐含的欧式空间假设，达到了更为真实刻画流形内部结构的目的。但是，由于Isomap算法最后采取了经典的MDS算法作为求解最后一步的方法，而在降维时，MDS算法希望保持的是距离的绝对值的差最小，随着问题规模的增长，它的计算结果往往会导致局部结构的扭曲。本文针对这一问题，提出了新的相对化目标函数，使得远场信息与近场信息能够有一个较好的权衡。同时，我们通过一些比较经典的算例上的计算，希望在发掘原有Isomap算法不足的同时，能够达到更为真实地还原流形局部的结构的效果。同时，由于算法的目标更改，算法的求解需要通过数值算法完成，本文也给出了一些

4、求解过程中的技巧，并且引入了Landmark思想，降低求解的复杂度，希望能够比较高效地得到算法收敛结果。关键词：数据降维；Isomap算法；相对目标；Landmark算法IAbstractAbstractNowadays,theongoingphenomenaofinformationexplosionhasmadethestudyofdimensionalityreductionanessentialpartofmoderndatascience.Withthevigorousgrowthofboththevolumeandthedimensionofmoderndat

5、a,theusageofdimensionreductionalgorithmhasachievedagreatpracticalsignificanceintheareaofdatadenoising,datarefiningandvisualizationanalysisofhighdimensionaldata.Asthestudydevelopsindepth,varioustypesofbranchesarederivedintheareaofdimensionreduction,amongwhichIsomapmethodis