解析几何典型例题

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1、典型例题双曲线定义与几何性质例1到两定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是[]A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线答案：D评注在椭圆和双曲线的定义中，仅是“和”与“差”一字的区别，其它完全一致．但它们的图象却完全不同了．此题易忽略双曲线条件，而选D例2[]A．k＞5B．k＞5或－2＜k＜2C．k＞2或k＜－2D．－2＜k＜2略解∵方程的图形是双曲线，∴(k－5)(

2、k

3、－2)＞0解得k＞5或－2＜k＜2，故选B．例3[]A．四个焦点共圆B．互为共轭双曲线C．都是等轴双曲线答案：D

4、注意：两双曲线有共同的渐近线是两双曲线互为共轭双曲线的必要不充分条件．例4设θ是第四象限的角，那么方程x2sinθ＋y2=sin2θ所示的曲线是[]A．焦点在x轴上的椭圆；B．焦点在y轴上的椭圆；C．焦点在x轴上的双曲线；D．焦点在y轴上的双曲线．解：∴sinθ＜0，且2θ∈(4nπ－π，4nπ)，(n∈Z)，sin2θ＜0，双曲线的实轴在x轴上，故应选(C)．评注：1．本题涉及的知识点是：双曲线的标准方程．2．判断ax2＋by2=c的曲线，首先按ab＞0与ab＜0划分为两大类：ab＞0时，为椭圆；ab＜0时，为双曲

5、线．再在每一类中，按ac的正负及bc的正负进行讨论，其结论可列表如下：3．对方程ax2＋by2=c的曲线的判断，需正确掌握椭圆、双曲线的标准方程和把握划分的标准．例5交点个数为[]A．1；B．2；C．3；D．0．解：过右焦点(5，0)，倾角为45°的直线方程为y=x－5．评注：1．本题涉及的知识点是：双曲线方程、焦点坐标、直线方程和直线与二次曲线的交点．2．直线与双曲线交点的个数，一般可以从直线方程与双曲线方程构成的方程组的实数解的个数来判断．如果直线经过双曲线内部的一点(x0，y0)，那么直线与渐近线不平行时，直线

6、与双曲线有两个交点；直线与渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点．如果直线经过双曲线外部一点(x0，y0)，那么直线与渐近线平行时，直线与双曲从直观上直接获得．例6心率e的取值范围．解：如图，设M点在双曲线右支上，且它到右焦点F2的距离等于它到左准线的距离

7、MN

8、，即

9、MF2

10、=

11、MN

12、．∵e＞1，∴e2－e＞0，∴1＋e≥e2－e．但e＞1，评注：题利用双曲线第二定义及焦点半径公式，大大地简化了计算．例7值．解法一设

13、MF1

14、=r1，

15、MF2

16、=r2，M(x0，y0)，代入r1=ex0－a，r2=ex0＋a，得解

17、法二如图，作△MF1F2的内切圆O'，N为⊙O'与x轴的切点．∵

18、NF1

19、＋

20、NF2

21、=2c，又由切线长定理，知

22、NF1

23、－

24、NF2

25、=2a，∴

26、NF1

27、=a＋c，

28、NF2

29、=c－a．评注解法二充分利用了双曲线定义，计算最大幅度下降，不难看出N点恰好是右顶点．例8求渐近线为x＋2y=0且与直线5x－6y－8=0相切的双曲线的方程．解：设双曲线方程为x2－4y2=λ，①设切点为(x0，y0)，则切线为x0x－4y0y－λ=0．②它应与5x－6y－8=0重合，∵λ≠0，∴λ=4．评注：通过设双曲线学而求之．例9∴kMF·

30、kQF=－1，故MF⊥QF．评注：通过双曲线方程而设切线方程．求双曲线方程例1解法一若焦点在x轴上，设双曲线方程为①与a＞0，b＞0矛盾，舍去．若焦点在y轴上，设双曲线方程为②解法二设双曲线方程为Ax2－By2=1，(*)评注：当不易确定双曲线类型时，采取解法二中的设法可以减少一些不必要的计算，简化解题过程．例2为4，求这双曲线的方程．解法一解法二=4．∴a=2，b2=c2－a2=32－22=5．解法三①评注解法一为常规解法；解法二的特点是利用双曲线定义；解法三是利用曲线系(共焦点系)，它们各有利弊，同学们在应用时应

31、视具体情况而定．例3求过点A(－1，4)且以y=±2x为渐近线的双曲线方程．解设双曲线方程为(2x＋y)(2x－y)=λ，①将A(－1，4)代入①，得λ=－12．评注这里用曲线系解法，避免了选择双曲线类型的麻烦，值得推广．例4解设双曲线方程为y2－x2=a2．∵双曲线是等轴的，①②①×②，得a=2．∴双曲线方程为y2－x2=4．例5解设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为a、b、c、e．例6分析：曲线的标准方程时，如果不知道实轴在x轴还是在y轴常常需要先判断出实物在哪条轴上，或者分别设出这两种标准形式，再

32、根据具体解答来确定一种答案，如例3解法一，这无疑是麻烦的．对于这类题目能不能事先加以判断，而直接根据题意，只设一个方程，得到正确答案呢？认真观察上面的两个标准方程，不难发现它们可用一种形式统一起来．表这样的设法，就可以使一些不知实轴在哪条轴求双曲线标准方程的题目解答得以优化．解：评注此题是巧设双曲线方程．设的根，解起来就方便．例7解由题设知，所