圆系方程 高三数学复习圆系方程及教案 高三数学复习圆系方程及教案

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1、圆系方程在平面解析几何直线与圆的教学中，向学生介绍圆系方程可为解题提供便利。这里主研究常用的一类圆系方程。定理1过直线L:y=kx+b及圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的两个交点的圆系方程为：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(kx-y+b)=0①（其中λ为待定常数）。首先证明方程①表示圆。由于直线l与圆C交，故方程组：；有两组不同的实数解，消去y整理得：(k2+1)x2+(D+kE+2kb)x+b2+bE+F=0；Δ＝(D+kE+2kb)2-4(k2+1)(b2+bE+F)＞0；整理得：D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F)②将方程

2、①变形为：x2+y2+(D+kλ)x+(E-λ)y+λb+F=0.要证此方程表示圆，即证：(D+kλ)2+(E-λ)2-4(λb+F)＞0,即：(k2+1)λ2+(2kD-2E-4b)λ+D2+E2-4F＞0.将它看作是关于λ的一元二次不等式，要证其成立，只需证明：Δ＝(2kD-2E-4b)2-4(k2+1)(D2+E2-4F)＜0③而此式等价变形为：D2+k2E2+2kDE+4kbD-4k2F＞4(b2+bE+F).它与②完全一致，由于原方程组有两组不同的实数解，所以②式成立，故③式恒成立，方程①表示圆。其次，证明圆①一定经过直线L与圆C的两个交点。设两交点分

3、别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵点A既在直线L上又在圆C上，∴kx1-y1+b=0,x12+y12+Dx1+Ey1+F=0,∴x12+y12+Dx1+Ey1+F+λ(kx1-y1+b)=0,即点A在圆①上，同理点B亦在此圆上。故圆①经过A、B两点。综上，定理1得证。定理2经过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0,的交点的圆系方程为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(包括圆C1，不包括圆C2，其中λ为常数且λ≠-1）特别地，当λ＝-1时，即（D1-D2）x+

4、(E1-E2)y+F1-F2=0表示两圆公共弦所在直线方程。证明：两圆的圆心分别为(-，-),(-,-),半径R1=,R2=。两圆相交的充要条件是｜R1-R2｜＜＜R1+R2，平方整理后，此式等价于-4R1R20，此式等价变形为：(D22+E22-4F2)λ2+2(D1D2+E1E

5、2-2F1-2F2)λ+(D12+E12-4F1)>0.②将②式视为关于λ的一元二次不等式，由于①式成立，故Δ<0，因此②式恒成立，其它与定理1证明类似。例1、求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程。分析：本题可通过解方程组求出两圆交点，或由圆心坐标写出两圆连心线的方程，若利用圆系方程，解法较为简捷。设所求圆的方程为x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0，圆心(，)在直线x-y-4=0上，∴－－4=0，得λ＝-.故所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.例2、已知圆C：x2+

6、y2-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线L，便L使圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线L的方程，若不存在，说明理由。分析：设存在直线L:x-y+b=0，设圆系方程：x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,由圆过原点得λb-4＝0。①又∵圆心（，）在直线L上，∴－+b=0.②联立①②可求出λ及b的值。练习题：1、求过圆x2+y2-2x=0与直线x+2y-3=0的交点，且圆心在y轴上的圆的方程。2、已知直线x+2y-3=0交圆x2+y2+x-6y+F=0于点P、Q、O为原点，问F为何值时，OP⊥OQ？参考答案：1、x2+y2+4y

7、-6=0,2.F=3