傅里叶级数课件

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1、9.5.1三角函数系的正交性9.5傅里叶级数9.5.2将函数展开成傅里叶级数9.5.3正弦级数与余弦级数9.5傅里叶级数9.5.1三角函数系的正交性1．三角级数简谐振动：y=Asin(ωt+)A为振幅，ω为角频，为初相。其中A0,An,n为常数。由三角公式，我们有Ansin(nωt+n)=Ansinncosnωt+Ancosnsinnωt则(1)式右端变型为形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、bn为常数。an=Ansinn，bn=Ancosn,ωt=x，2.三角函数系的正交性三角函数系9.5.2将函数展开成傅里叶级数问题:1.若能展开,是什

2、么?2.展开的条件是什么?傅里叶系数设f(x)是周期T=2π的周期函数，且能展开成三角级数：傅里叶系数傅里叶级数问题:9.5.1(收敛定理,注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.狄利克雷(Dirichlet)充分条件)题目类型：(1)将定义在（，）上的以2为周期的函数展开成傅立叶级数。方法：(i)先求傅里叶系数(ii)写出对应的傅里叶级数(iii)根据收敛定理把上式写成等式解例1所求函数的傅氏展开式为所给函数满足狄利克雷充分条件.方法:(i)对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在(，)上的周期函数F(x).将定义在[-，]上的

3、函数f(x)展开成傅立叶级数。(iii)限制在[-，]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(ii)F(x)的傅立叶级数与f(x)的傅立叶级数相同.解所给函数满足狄利克雷充分条件.拓广的周期函数的傅氏级数展开式在收敛于.例2所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和9.5.3正弦级数和余弦级数1.奇函数和偶函数的傅里叶级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.证明奇函数同理可证(2)定义偶函数定理证毕.解所给函数满足狄利克雷充分条件.例32、函数展开成正弦级数或余弦级

4、数做法：奇延拓偶延拓解(1)求正弦级数.例4(2)求余弦级数.总结：将f(x)展开傅立叶级数有以下三种情况：(1)将定义在（，）上的以2为周期的函数f(x)展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作周期为2的周期延拓得定义在（，）上的周期函数F(x),将F(x)的傅立叶级数限制在[-，]再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。方法：计算f(x)的傅立叶系数后得到f(x)的傅立叶级数，再用收敛定理得到f(x)的傅立叶级数展开式。(2)将定义在[-，]上的函数f(x)展开成傅立叶级数。方法：应对f(x)作奇延拓（或偶延拓），得到定义在(-,]上

5、的函数F(x),F(x)的傅立叶级数即为正弦级数（或余弦级数），限制在[0]再用收敛定理得到f(x)的正弦级数（或余弦级数）展开式。(3)将定义在[0，]上的函数f(x)展开成正弦（余弦）级数。