招生全国统一考试数学理(湖南卷，含答案) 试题

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1、2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖南卷，含答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若a＜0，＞1，则(D)A．a＞1,b＞0B．a＞1,b＜0C.0＜a＜1,b＞0D.0＜a＜1,b＜02．对于非0向时a,b,“a//b”的确良（A）A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．将函数y=sinx的图象向左平移0＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，则等于（D）A．B．C.D.4．如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应

2、曲线和,则[B]ABCD5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位[C]A85B56C49D286.已知D是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为[B]ABCD7．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（C）A．2B．3C.4D.58.设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则A．K的最大值为2B.K的最小值为2C．K的最大值为1D.K的最小值为1【D】二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，

3、把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__10．在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答)11、若x∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为2.12、已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位

4、50。14、在半径为13的球面上有A,B,C三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为315、将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=(n+1)

5、(n+2)三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：设由得，所以又因此由得，于是所以，，因此，既由A=知，所以，，从而或，既或故或。17.（本小题满分12分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工

6、程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2)解法1设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）==，P（=1）=P（=2）==P（=2）=P（=1）==P（=3）=P（=0）==故的

7、分布是0123P的数学期望E=0+1+2+3=2解法2第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，i=1,2,3，由此已知，·D，相互独立，且P（）-（，）=P（）+P（）=+=所以--,既，故的分布列是12318.（本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（I）证明平面平面（II）求直线和平面所成角的正弦值。解（I）如图所示，由正三棱柱的性质知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A所以DE平面ACCA，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACCA。（2）解法1如图所示，设F使AB的中

8、点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC-ABC的性质及D是AB的中点知ABCD，ABDF又CDDF=D，所以AB平面CDF，而AB∥AB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC