布尔代数入门

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1、布尔代数入门布尔代数是计算机的基础。没有它，就不会有计算机。布尔代数发展到今天，已经非常抽象，但是它的核心思想很简单。本文帮助你理解布尔代数，以及为什么它促成了计算机的诞生。我依据的是《编码的奥妙》的第十章。这是一本好书，强烈推荐。一、数理逻辑的起源19世纪早期，英国数学家乔治•布尔(GeorgeBoole,1815－1864)突发奇想：人的思想能不能用数学表达？此前，数学只用于计算，没有人意识到，数学还能表达人的逻辑思维。两千年来，哲学书都是用文字写的。比如，最著名的三段论：所有人都是要死的，苏格拉底是

2、人，精品资料所以，苏格拉底是要死的。乔治・布尔认为，这种推理可以用数学表达，也就是说，哲学书完全可以用数学写。这就是数理逻辑的起源。二、集合论乔治・布尔发明的工具，叫做“集合论"（Settheory）。他认为,逻辑思维的基础是一个个集合（Set），每一个命题表达的都是集合之间的关系。比如，所有人类组成一个集合R,所有会死的东西组成一个集合D。所有人都是要死的集合论的写法就是：RXD=R集合之间最基本的关系是并集和交集。乘号（X）表示交集，加号（+）表示并集。上面这个式子的意思是，R与D的交集就是R。同样的

3、，苏格拉底也是一个集合S,这个集合里面只有苏格精品资料拉底一个成员。苏格拉底是人//等同于SXR=S上面式子的意思是，苏格拉底与人类的交集，就是苏格拉底。将第一个式子代入第二个式子，就得到了结论。SX(RXD)=(SXR)XD=SXD=S这个式子的意思是，苏格拉底与会死的东西的交集，就是苏格拉底，即苏格拉底也属于会死的东西。三、集合的运算法则精品资料前面的三段论比较容易，一眼就能看出结论。但是，有些三段轮比较复杂，不容易立即反应过来。请看下面这两句话。"鸭嘴兽是卵生的哺乳动物。鸭嘴兽是澳洲的动物。你能一眼

4、得到结论吗？鸭嘴兽X卵生=鸭嘴兽鸭嘴兽x澳洲=鸭嘴兽将第一个式子代入第二个，就会得到：鸭嘴兽X卵生x澳洲=鸭嘴兽//相当于卵生x澳洲=鸭嘴兽+其他因此，结论就是"有的卵生动物是澳洲的动物"，或者精品资料有些三"有的澳洲的动物是卵生动物"。还有更不直观的三段论。"哲学家都是有逻辑头脑的，一个没有逻辑头脑的人总是很顽固。"请问结论是什么？这道题会用到新的概念：全集和空集。集合A和所有不属于它的元素(记作-A)构成全集(I),这时A和-A的交集就是一个空集(0)。A+(-A)=IAX(-A)=0因此，有下面的公

5、式。B精品资料=BXI=BX(A+-A)=BXA+BX(-A)回到上面那道题。哲学家X逻辑=哲学家无逻辑X顽固=无逻辑根据第一个命题，可以得到下面的结论。哲学家X无逻辑=（哲学家X逻辑）X无逻辑=哲学家X（逻辑X无逻辑）=哲学家X0精品资料=0即哲学家与没有逻辑的人的交集，是一个空集。根据第二个命题，可以得到下面的结论。精品资料无逻辑X顽固=无逻辑X顽固X（哲学家+非哲学家）=无逻辑X顽固X哲学家+无逻辑X顽固X非哲学家=0X顽固+无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑也就是说，最终的结论

6、如下。无逻辑X顽固X非哲学家=无逻辑//相当于顽固X非哲学家=无逻辑+其他精品资料结论就是顽固的人与非哲学家之间有交集。通俗的表达就是：一些顽固的人，不是哲学家，或者一些不是哲学家的人，很顽固。由此可见，集合论可以帮助我们得到直觉无法得到的结论，保证推理过程正确，比文字推导更可靠。四、集合论到布尔代数既然命题可以用集合论表达，那么逻辑推导无非就是一系列集合运算。由于集合运算的结果还是集合，那么通过判断个体是否属于指定集合，就可以计算命题的真伪。一名顾客走进宠物店，对店员说："我想要一只公猫，白色或黄色均可

7、；或者一只母猫，除了白色，其他颜色均可；或者只要是黑猫，我也要。"这名顾客的要求用集合论表达，就是下面的式子。公猫X（白色+黄色）+母猫X非白色精品资料+黑猫店员拿出一只灰色的公猫，请问是否满足要求？布尔代数规定，个体属于某个集合用1表示，不属于就用0表示。灰色的公猫属于公猫集合，就是1，不属于白色集合，就是0。上面的表达式变成下面这样。1X(0+0)+0X1+0=0因此，就得到结论，灰色的公猫不满足要求。这就是布尔代数：计算命题真伪的数学方法。五、布尔代数的运算法则布尔代数的运算法则与集合论很像。交集的

8、运算法则如下。精品资料1X1=11X0=00X0=0并集的运算法则如下。1+1=11+0=10+0=0集合论可以描述逻辑推理过程，布尔代数可以判断某个命题是否符合这个过程。人类的推理和判断，因此就变成了数学运算。20世纪初，英国科学家香农指出，布尔代数可以用来描述电路，或者说，电路可以模拟布尔代数。于是，人类的推理和判断，就可以用电路实现了。这就是计算机的实现基础。六、布尔代数的局限精品资料虽然布尔代数可以判断命题真伪，但是无