函数的凸性与拐

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1、函数的凸性与拐点笫六平务2苞函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。教学方法：讲练结合。考察函数J（X）=/和f⑶=上的图象.它们不同的特点是:曲线/（X）=X2上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲小）=五线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数.一、函数的凸性1.定义笫六平务2苞设,为定义在区间/上

2、的函数，若对,上的任意两点a.,x2和任意实数设(0/)总有/(加+(1-A)x2)<钦演)+(1-A)/(x2),则称/为/上的凸函数.反之，如果总有”孙+(1-A)x2)>/区)+(1-A)f(x2)则称/为/的凹函数.如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.易证：若T为区间/上的凸函数，贝！1/为区间/上的凹函数.故只需讨论凸性即可.2.引理/为/上的凸函数的充要条件是:对于,上的任意，六■♦务a节第4茂，六■♦务a节第4茂三点K

3、)-/。2)证［必要性］记2=—~~—,则%=小1+(1-2)x3.由/的凸性匕一大知道f(x2)=/(3+(1-A)x3)<一丁)+(1-2)/(x3)工3一%J、MT］、专一项=-——-fW+^——L/(X3),从而有(才3-巧)/(巧)<(3-2)/(占)+(巧-X])f(3)9，六■♦务a节第4茂(X3-X2)f(x2)+(X2-Xj)f(x2)<(X3-X2)f(.)+。2-.)/(^3)，整理后即得⑶式•［充分性］在/上任取两点/，/（X,＜x3）,在［七,刍］上任取一点X,=Av,+（I_4）上,/d2e（0,

4、1）,即4一均一“2由必要性的推导逆%一再-年匕干!过程，可证得J1二/（Z¥+（1—4）与）＜"（X）+（1-㈤/（七）,故/为图6-13I上的凸函数同理可证，/为I上的凸函数的充要条件是:对于I上任意三点不＜々＜勺，有-2）--（为）--（匕）一/（M）＜/（X3）一）（12）x2_Xjx3_X］x3-x23.可导函数凸性的等价命题定理6.13设/为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：r/为I上凸函数；2-/为I上的增函数；3-对I上的任意两点4”有/u2）之f（xi）+/'（内）（勺一2）・（5），六■♦务a节第4

5、茂证（1。=2。）任取I上两点项,看"＜必）及充分小的正数人由于，六■♦务a节第4茂xt—/?f，(Xi)(X2-Xj•移项后即得⑸式成立，且当

6、,,f时仍可得到相同结论.G=r)设以“应为上任意两点，Xy=Ax[+(1—A)x20，<1.由3。，并利用玉-x3=(1一丸)(玉-x2)^jx2-x3=A(x2一演)9，(X1)之/(%3)+)(K一七)=/(与)+(1一㈤/“3)(王一々)，f(x2)>f(x3)+fx3)(x2-x3)=f(x3)+矿(%3)(x2-x{).分别用%和i乘上列两式并相加，便得力G)+(1-A)/(x2)>—+(1-A)x2)•从而/为/上的凸函数.口注:论断3,几何意义：曲线y=〃x)总在它任一切线之上.这是可导凸函数的几何特征.3

7、.二阶可导函数凸性的充要条件定理6.14设/为区间/上的二阶可导函数，则第六举笫7百在/上/为凸（凹）函数的充要条件是/Tv）＞0（/7x）＜0VgZ•例1讨论函数/⑴=arctain的凸（凹）性区间。解由于/〃⑴二产三，因而当（1+X-）-x«0时，/"(x»04。时f"(x)＜0.从而在(-8,0］上/为凸函数，在［0,+8）上/为凹函数.口例2若函数/为定义在开区间（9）内的可导的凸（凹涵数，贝11c）为/的极小（大）值点的充要条件是与为/的稳定点，即/（％）=0.证下面只证明/为凸函数的情形.必要性已由费马定理可出，

8、现在证明充分性.由定理6.13,任取（〃刈内的一点QX（））9它与曲一起有/WN/(玉))+ff(xQ)(x-x0).因/（%）=0,故VxD有/（幻之/（.%）,即玉）为/的极小值点（且为最小值点）.例3（詹森（Jensen）不等式）若/为“”上凸函数,则对任意巧仁伍f勿，4＞。(，=1