数学方法的变革

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1、数学方法的变革与经济学的革命江汉大学文理学院院长、教授甘德安1目录数量化使经济学成为一门科学微积分与边际革命最优化（拓扑方法）与边际革命的深化不确定性（概率统计）与凯恩斯革命概率统计与计量经济学矩阵方法与克莱茵革命和投入产出经济学博弈论与经济学的新革命非线性与混沌经济学2物理学家与经济学家的聚会：笛卡儿说：我苦思冥想，终于悟出了万物都是可以归结为数学的道理。我坚信，数学是至今为止人类智慧赋予我们的最有力的认识工具，它是万物之源。首届诺贝尔经济学奖上，主席发言说：经济科学已日益朝着数学精确性以及对经济内容的定量分析方向发展。这种数学分析的技术如此成功，足以

2、使那种模糊的、用文字表达的经济学相形见绌。20世纪80年代以前是物理学推动数学的进步，而21世纪是经济学推动数学的进步。网上有一个笑话：物理学家与数学家聚会一堂，在交谈中，物理学家被经济学家的数学修养之高惊呆了，而经济学家被物理学家对近代数学的无知也惊呆了。3数学的本质、危机与边界恩格斯认为：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。罗素认为：即不知道研究的对不对，也不知道是什么的学问称为数学。数学“是研究抽象结构的科学”。“数学是结构及其模型的科学”。马克思认为：一门学科只有充分应用数学是才是一门真正的科学。Samuelson:数学是语言，更精确

3、，自洽，简要。甘德安认为：数学不仅是一种语言、思维和公式，更是一种精神和文化。4数学的危机与数学的革命第第一次危机：从有理数到无理数；第二次危机：从-语言的发明导致集合论和测度理论的产生；抽象代数、测度理论、泛函分析、实分析等学科产生。-语言导致实数问题导致集合理论几何问题归结为解析几何问题归结为代数问题归结为实数问题归结为自然数问题归结为集合问题，导致数学与逻辑的革命。第三次危机：从第五公设到非欧几何学到拓扑学（点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑）的产生。5从确定到或然矩阵分析从有限到无限从一元到多元从静止到运动从有序到无序数学[Mathematic

4、s]是一个复数概率与数理统计克莱因革命混沌经济学数学分析集合论线性代数边际革命凯恩斯革命计量经济学线性规划投入产出经济学从单边到多边经济学新革命博弈论数学分析微分和差分动态经济学6数与形数论代数非欧几何欧氏几何数形解析几何抽象代数拓扑分析罗氏几何黎曼几何线性代数集合理论新古典经济学（高级微观）数学分析边际革命边际革命的深化从确定性看数学对经济学的影响7一、数量化、公理化使经济学成为一门科学数学的基本作用理论(theoretical)研究中数学方法的作用前提假定逻辑推理应用已有定理实证(empirical)研究中数学和统计方法的作用计量模型证据数量化统计方

5、法8数学能否引入经济学计量经济学的创立：引入统计和模型发展数理经济学：PaulSamuelson决定论模型（加速-乘子模型）股市随机运动模型（martingale）和期权模型、混沌模型HerbertSimon:数学用得太多了陈平：数学用得太窄了（限于欧氏几何，优化算法，不了解非欧几何，混沌，小波，生灭过程）。9二、微积分与经济学的边际革命西方经济学家把边际递减原理称为“边际革命”。实际上，边际革命的实质就是数学方法的变革，是从常量数学方法在经济学的应用变更为变量数学方法在经济学的应用，更具体地说就是微积分的应用。杰文斯说：很显然，经济学如果是一种科学，它

6、必须是一种数学。…所以我毫不犹豫地采用数学中适当的工具去研究无限小量。那就是用微分法来说明财富、效用、价值、供给、资本、利息、劳动等概念。10二、微积分与经济学的边际革命杰文斯还说：我力图把经济学作为包含快乐和痛苦的一个微积分来看待…这样看待的经济理论表现得与静态力学及其相似，并且可以发现，交换规律类似于杠杆的平衡规律。1865年克劳修斯关于熵的定义，申农关于信息的定义都是决定学科的奠基性工作。效用是一个比信息更抽象的量，借助微积分的方法就导致经济学的边际革命。11M.Gessen法则戈森说：“我相信，我在解释人类关系方面所做的，正如哥白尼在解释天体关系

7、方面所做的事情。我相信，我已成功地发现了使人类得以生存并支配人类进步的力量，以及这种力量发生作用的法则的一般形式。哥白尼的发现使人类得以预测天体未来运行的轨迹。我的发现使我得以指出，人们为了实现人生目的所必定遵循的确定不移的路线。”12经济学普遍运用现代微积分技术却是在希克斯的《价值与资本》一书中才得以实现的。他以严格的数学对序数效用论、无差异曲线等概念的阐述和完善，推动了英语国家的经济学数学化。其后是萨谬尔森的《经济分析的基础》（1947）及其他论文。他把经济学在30年代以前用的自然语言和图式的分析改写成为定性的数学模型和推理方法，以有约束的最大化作为

8、一般原则，对生产者行为、消费者行为、国际贸易、公共财政、收入分配等各个经济理论的