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1、第二章逻辑代数基础逻辑代数是描述、设计数字系统的重要工具，是由逻辑学发展而来的。逻辑学是研究逻辑思维和推理规律的一门学科。19世纪中布尔（Boole）创立了布尔代数，即用代数形式来描述、研究逻辑学问题。二十世纪初香农（Shannon）把布尔代数应用于继电器构成的开关电路，称为开关代数。目前逻辑门是数字系统的基础，因此把开关代数又称为逻辑代数。2.1逻辑代数的基本概念2.1.1逻辑变量与逻辑函数逻辑代数有两个逻辑常量：逻辑0和逻辑1。不同于普通代数中的0和1，逻辑0和逻辑1不具有数量的概念，而是两个对立的状态
2、。数字系统中可用电平值或元件状态表示逻辑0和逻辑1。逻辑变量是一个符号，它可以取值逻辑0或逻辑1。逻辑代数中，若某逻辑变量F的取值唯一地由一组变量A,1A,…,A的取值确定，则称这样的逻辑关系为逻辑函数关2n系，可表示为：F=f(A,A,…,A)12n其中，称逻辑变量F为逻辑因变量或输出变量，多用于描述数字系统的输出状态；变量组A,A,…,A称为逻辑自变量12n或输入变量，常用于描述数字系统的输入状态。与普通代数中的函数不同，逻辑函数中的变量仅能取离散值逻辑0、逻辑1，逻辑函数中的运算可分解为与、或、非这三
3、种逻辑运算。逻辑函数相同的概念为，若有逻辑函数F=f(A,A,…,A)1112nF=f(A,A,…,A)2212n且对于A,A,…,A的所有取值组，F、F的取值都相12n12同，则认为逻辑函数F、F相同。122.1.2逻辑运算逻辑代数中有“与”、“或”、“非”三种逻辑运算。1.“与”运算若决定某事件发生的多个条件同时满足时，该事件才能发生，称这样的逻辑关系为“与”逻辑。逻辑代数中用“与”运算描述“与”逻辑，其运算符为“·”或“∧”。“与”运算式可表示为：F=A·B或F=A∧B“与”运算也称为逻辑乘。逻辑乘的
4、运算规则为：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1。2.“或”运算若决定某事件发生的多个条件只要有一个或一个以上成立，该事件就能发生，称此逻辑关系为“或”逻辑。逻辑代数中用“或”运算描述“或”逻辑，其运算符为“+”或“∨”。“或”运算式可表示为：F=A+B或F=A∨B“或”运算也称为逻辑加。逻辑加的运算规则为：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=13.“非”逻辑若某事件的发生取决于条件的否定，称这样的逻辑关系为“非”逻辑。逻辑代数中“非”逻辑用“非”运算描述，其运算符为“￣”或“┐”。“非”
5、运算式可表示为：F=A或F=┐A“非”运算也称为取反运算，其运算规则为：01=10=2.2逻辑代数的公理、定理及规则1.公理系统公理10–1律A+0=AA×=00A+1=11AA×=公理2交换律A+B=B+AA·B=B·A公理3结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A×B)×C=A××()BC公理4分配律A+(B×C)=(A+B)×(A+C)A×()B+C=A×B+×AC公理5互补律A+A=10AA×=公理6重叠律A+A=AA×=AA公理7AA=2.定理系统定理1吸收律A+A×B=AA×()A+=BAA+A
6、×B=A+BA×()A+B=×AB定理2摩根律A+B=A×BA×B=+AB定理3冗余律A×B+A×C+B×C=A×B+×AC(A+B)×(A+C)×(B+C)=(A+B)×+()AC关于吸收律的证明：A+AB=(A++A)()AB=+AB关于冗余律的证明：AB+AC+BC=AB+AC++BC()AA=AB+AC++ABCABC=AB(1+C)++ACB(1)=+ABAC2.2.2逻辑代数的重要规则1.代入规则在一个逻辑等式中把某个逻辑变量替换为一个逻辑函数表达式，该逻辑等式仍然成立。代入规则可用于推广摩根定
7、理。根据摩根定理有：A+B=×AB用B+C替换变量B，得到：A+()B+C=A×+BC=A××BC由此可以推广到n个变量的摩根定理：A+A+LL+A=A×AA××12nn12A×A×LL×A=A+AA++12nn122.反演规则对一个逻辑函数表达式作如下的变换：×Þ++Þ×0Þ11Þ0原变量Þ反变量反变量Þ原变量所得表达式为该逻辑函数的反函数。反演规则应用举例。对于逻辑函数F(A,B,)C=A+×BC根据反演规则，其反函数为F=A×()B+C=A×B+×ACF=A+×BCABCFFF=A×B+×AC0000
8、1利用摩根定理也可00110求出反函数：01001F=A+×BC0110110010=A××BC10110=A×+()BC11010=A×+()BC11110=A×B+×AC3.对偶规则对一个逻辑函数表达式作如下的变换：×Þ++Þ×0Þ11Þ0所得表达式为该逻辑函数的对偶式。若有逻辑函数F=A++BC+×DE则根据反演规则可得其反函数为：F=A×B×C×+DE根据对偶规则可得其对偶式为：F¢=A××BC×+DE对
