第二十九讲：椭圆

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1、第二十九讲：椭圆考向预览考点盘清课前演练1.椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为()A．5或3B．8C．5D．162.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2等于()A．4B．5C．8D．103.已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为()A．9B．1C．1或9D．以上都不对4.中心在坐标原点，焦点在y轴上，经过点(，0)，离心率为的椭圆方程为。35.椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1、F2，两条直线x＝±(c2＝a2－b2)与x轴的交点为M、N，若MN≤2F1F2，则该椭圆的离心率e的取值范围是

2、。[，1).高频考点一椭圆的定义及标准方程【例1】已知椭圆E的两个焦点分别为F1(－1,0)、F2(1,0)，C(1，)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)若点P在椭圆E上，且满足·＝t，求实数t的取值范围．【点评】求椭圆的标准方程，通常有定义法和待定系数法，应该熟练掌握．运用待定系数法解题时应注意“先定位，后定量”，尤其要注意焦点所在的坐标轴有两种可能的情形．练习1：分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点P(2，0)，Q(0，－)；(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(－3,0)；(3)焦距是8，离心率是.【点评】求圆锥曲线的标准方程时，除依

3、据条件确定a、b、c的值外，应注意焦点能否换轴，全面考虑问题．二椭圆的几何性质【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．【点评】(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF1＋PF2＝2a，得到a，c的关系．(2)对△F1PF2的处理方法⇔.练习2：已知点A、B分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的长、短轴的端点，从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F

4、1，∥.1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．三椭圆的综合问题【例3】椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，PF1＝，PF2＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M且交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．【点评】(1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、相切或相离．(2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两

5、根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础．(3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设出弦的端点坐标，代入方程，用点差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常要检验．3练习3：若F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且PF1＋PF2＝4，F1F2＝2.(1)求这个椭圆的方程；(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使⊥(其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．4、从圆x2＋y2＝4上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，点M在线段PQ上，且＝λ(0＜λ＜1)．(1)求点M的轨

6、迹C的方程；(2)若曲线C上的点M到A(0，－2)的最远距离为3，求λ的值．方法提炼3