量子力学10

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1、第十讲Ⅰ.束缚能级与反射振幅极点的关系束缚态S矩阵的极点在一维情况下，对应的极点应是反射振幅。(1)半壁δ位阱的散射由波函数连续，及其导数的关系（在处）代入R分母得其中这与直接求解双对称势的奇宇称所得的确定本征值的方程完全一致。(2)有限深方位阱：（）其中,若位势有束缚态，则，而为R或S的极点。令，Ⅱ.一维谐振子的代数解法：若粒子在中运动。令，则（1）能量本征值定义二个无量纲的算符则有于是，有二个重要结论：A.B.可得若是的本征态，相应本征值为，即则也是的本征态，本征值为同样有也是的本征函数，相应本征值为，即增加能量。本征值恒为正。因此必存在能量

2、最小的本征态这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，因此由。所以，最低能量为任一激发态，在算符的连续作用下，最终必须到态。若经，则的本征值应为，也即。所以，称为声子数算符。谐振子的能量本征值取它的能级是等间距的。(2)能量本征函数谐振子的能量本征态，可由作用而获得现求归一化系数假设：是归一化的，相应本征值那所以，至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征态可求出的任何信息都可由此得到。为要得到在坐标空间中的解析表达式，由其中，是无量纲量，。所以于是有由归一化而算符所以，其中它是一多项式，最高幂次为n，系数为；宇称为，被称

3、为厄密多项式（HermitPolynomials）。（3）讨论和结论A.当粒子运动于谐振子势中，其能量取分立值为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数（而）。在坐标空间中具体而言B.显然是偶函数，而是改变奇偶性的算符，所以的宇称为，即每条能级的宇称是确定的。C.零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则对于任何实数A＋B＝C，则有于是有而所以但由测不准关系要求因而，只有才不违背测不准关系。这表明，处于谐振子势中的粒子，最低能量不能小于。这与经典不同，经典粒子可停在原点，能量为0。D．可以证明：un有n个节点（它是第n+1条解级）这表明，在和能级之间

4、不可能有另外能级，所以解是完全的。E.递推关系：我们将导出基本的递推关系1.2.3.4.§3.9相干态（1）湮灭算符的本征态令于是有可得由归一化得所以相应于本征值为的归一化本征态我们看到，，没有共同的本征态，但其线性组合有本征态。这类态称为相干态。它有性质：A.在该态中位置和动量满足最小测不准关系同理有于是有∴B.相干态随时间的演化若处于谐振子势的粒子，在时，处于相干态，则时，体系的波函数为于是这表明的本征值在时为，而在时刻为我们有平均值我们也有平均值所以，其中它随的演化很接近经典谐振子的运动。C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的

5、哈密顿量为于是，我们有其中如令则令它的基态满足而所以即这表明这时所以，是哈密顿量的相干态。第四章量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质（1）一般运算规则：一个力学量如以算符表示。它是一运算代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从例：，于是即将体系的几率密度振幅沿x方向移动距离a.A.力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即例如1.例如2.对不显含时间的薛定谔方程若，，则量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，方程就不行。因B.算符之和：表示，

6、对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即C.算符之积:表示，对任意波函数，有，则D.逆算符：算符将任一波函数若有另一算符使则称为的逆算符，并表为，显然，E.算符的函数：设：在x=0处，有各级导数则定义算符的函数例如:它有各级导数，。于是如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能