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1、2008年高考数学专题讲座专题四恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:1.恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最小值大于,若不等式在区间上恒成立,则等价于函数在区间上的最大值小于.2.能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,即在区
2、间上能成立,,则等价于函数在区间上的最大值大于,若在区间上存在实数使不等式成立,即在区间上能成立,,则等价于函数在区间上的最小值小于.3.恰成立问题若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式第13页共13页2008年高考数学专题讲座的解集为,若不等式在区间上恰成立,则等价于不等式的解集为,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.【例1】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．【分析及解
3、】第一个填空是不等式恒成立的问题,设.则关于的不等式的解集为在上恒成立,即解得第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.【例2】三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．第13页共13页2008年高考数学专题讲座甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是．【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实
4、际上是函数思想的反映.设.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设其解法相当于解下面的问题：对于,若恒成立,求的取值范围.所以，甲的解题思路与题目,恒成立,求的取值范围的要求不一致.因而,甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数的图象和的图象,然而,函数的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为在上恒成立,等价于第13页共13页2008年高考数学专题讲座时,成立.由在时,有最小值,于是,.【例3】已知向量若函数在区间上是增函数，求t的取值范围.【分析及解】依定义在区间上是增函数等价于在区间上恒成立;而在区间上恒成立又等价于在区间上恒成立;设进
5、而在区间上恒成立等价于考虑到在上是减函数,在上是增函数,则.于是,t的取值范围是.【例4】已知函数，其中是的导函数.（1）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（2）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点.第13页共13页2008年高考数学专题讲座【分析及解】只考虑（Ⅰ）.解法1.由题意，这一问表面上是一个给出参数的范围，解不等式的问题，实际上，把以为变量的函数，改为以为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令，，则对，恒有，即，从而转化为对，恒成立，又由是的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需即解得.故时，对满足的一切的值，都
6、有.解法2.考虑不等式.由知,,于是,不等式的解为.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑的条件,还应进一步完善.为此,设.不等式化为恒成立,即.第13页共13页2008年高考数学专题讲座由于在上是增函数,则,在上是减函数,则所以,.故时，对满足的一切的值，都有.【例5】求与抛物线相切于坐标原点的最大圆的方程.【分析及解】因为圆与抛物线相切于坐标原点,所以,可设.由题意,抛物线上的点除坐标原点之外,都在圆的外边.设和圆心的距离为,则本题等价于①在的条件下,恒成立.整理①式得②于是,本题又等价于②式在的条件下,恒成立.即,由得,即.所以,符合条件的最大圆的半径是,最大圆的方程为【例6】设，二
7、次函数若的解集为，第13页共13页2008年高考数学专题讲座，求实数的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设,.的两个根为显然,.(1)当时,,(2)当时,,.于是,实数的取值范围是.我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合的交集不是空集就可
