四年级数学知识教程

《四年级数学知识教程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

目录1大数的认识1.亿以内数的认识·············（1）（1）亿以内数的读法和写法·························（1）（2）亿以内数的大小比较、改写及求近似数···············（9）2.数的产生、十进制计数法及亿以上数的认识··············（14）3.计算工具的认识、算盘、计算器··························（23）易错警示····················（28）奥数专题（一）···············（29）2公顷和平方千米··············（33）易错警示····················（36）奥数专题（二）···············（36）3角的度量1.线段、直线、射线和角及角的度量·······················（38）2.角的分类和画角·············（44）易错警示·····················（50）奥数专题（三）················（51）4三位数乘两位数1.三位数乘两位数的笔算方法···························（55）2.积的变化规律与常见的数量关系·······················（60）易错警示·····················（66）奥数专题（四）·················（67）5平行四边形和梯形1.平行与垂直··················（71）2.平行四边形和梯形···········（78）易错警示·····················（84）奥数专题（五）················（85）6除数是两位数的除法1.口算除法···················（89）2.笔算除法···················（94）（1）商是一位数的笔算除法——用整十数除···········（94）

1（2）商是一位数的笔算除法——用非整十数除·········（98）（3）商是两位数的笔算除法························（105）（4）商的变化规律···········（111）易错警示····················（118）奥数专题（六）···············（119）7条形统计图··················（124）易错警示····················（134）奥数专题（七）···············（135）8数学广角——优化············（137）易错警示····················（145）奥数专题（八）···············（146）9总复习1.数与代数··················（151）2.图形与几何················（155）3.统计与优化················（158）

2

31大数的认识1.亿以内数的认识（1）亿以内数的读法和写法课前自主学习引导2013年“十一”黄金周，河南各地旅游形势一片大好。其中省会城市郑州共接待游客9953600人次，开封市共接待游客3645200人次，洛阳市共接待游客5097200人次。小朋友，你会读这些数吗？下面就让我们一起来学习“亿以内数的读法和写法”吧！1.在认识万以内数的基础上，进一步认识计数单位“万”“十万”“百万”“千万”“亿”以及每相邻两个计数单位之间的十进制关系。2.认识亿以内的数级和数位顺序表，会根据万以内数的读写方法探索出亿以内数的读写方法。3.感受大数在日常生活中的应用。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识亿以内的计数单位及数位、数级1.一（个）、十、百、千、万……亿都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10，即10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿……在用数字表示数的时候，这些计数单位要干燥一定的顺序排列起来，她们所占的位置叫做数位。2.按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级，分别是个级、万级和亿级。个位、十位、百位、千位是个级，万位、十万位、百万位、千万位是万级，亿位是亿级。个级表示多少个一，万级表示多少个万，亿级表示多少个亿。

4例1（第3页）在日常生活和生产中，我们经常用到比万大的数。分析:一万一万地数，10个一万是十万。继续数下去:10个十万是一百万，10个一百万是一千万，10个一千万是一亿。←数级←数位在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级，如下图亿级万级个级……亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位1961236819612368是一个八位数，对照数位顺序表，把各个数字一一对应写在各个数位上，即可所处每个数位上的数字各表示多少。解:北京市人口为19612368人，19612368是一个八位数，最高位是千万位。每个数位上的数字表示的意义如下:亿级万级个级……亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位↑↑↑↑↑↑↑↑19612368个个个个个个个个千百十万千百十一万万万19612368同一个数字，在某一个数里的位置不同，它所表示的意义也不用。哪一位上的数字是几，就表示有几个这样的计数单位。

5知识点二:含有两级的数的读法含有两级的数的读法:（1）先读万级，再读个级;（2）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字;（3）每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0.例2（第5页）读出下面个数哪种读法比较简便？试读上面剩下的两个数。分析:读较大的数，通常先要对这个较大的数进行分级，分级的方法是从各位起，每十个数为是一级。一般用分级线把不同的数级分开。2496的千位上是2，读作“二千”;百位上是4，读作“四百”;十位上是9，读作“九十”;个位上是6，读作“六”。所以这个数读作“二千四百九十六”。24960000，从个位起，每四个数位分为一级，即2496⁞0000。千万位上是2，读作“二千万”;百万位上是4，读作“四百万”;十万位上是9，读作“九十万”;万位上是6，读作“六万”。所以这个数读作“二千万四百万九十万六万”。还可以这样读:万级的数“2496”按照个级的读法附着“二千四百九十六”，再在后面加上一个“万”字;个级的数“0000”在数的末尾，不读出来。所以这个数读作“二千四百九十六万”。可以看出，这种读法更简便。同样的方法可以读出后面的两个数。万级的数与个级的数读法的相同点:万级的数按照个级的数的读法读。不同点:万级的数要在后面加上一个“万”字。

6例3（第5页）读出下面各数。分析:读较大的数，应先分级。读数时，从高位起，一级一级地往下读。解:知识点三:含有两级的数的写法含有两级的数的写法:（1）先写万级，再写个级;（2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。例4（第7页）背景大钟寺的永乐大钟的内外共铸热二十三万零一百八十四个字。你能写出横线上的数吗？含有两级的数怎么写？分析:写含有两级的数时，先写出数位顺序表，并从低位至高位四位一分级。然后从高位写起，先写万级，再写个级，哪一位上一个单位也没有就写0占位。如:二十三万零一百八十四，这个数有两级，万级数是“二十三万”，先在万级上写“23”;个级数是“零一百八十四”，千位上一个单位也没有，写0占位，即在个级上写“0184”。所以这个数写作:23⁞0184。同样的方法可以写出其余各数。

7要先快速写出含有两级的数，先要找到关键字“万”，“万”字前面是多少，就在万级上写多少，再在后面写出个级的数。写个级的数时一定要保证是四位数，哪一位上一个单位也没有就写0占位。1.写出横线上的数字表示的含义。584⁞62767⁞452564⁞009029⁞433埃及胡夫金字塔约由二百三十万块石料堆砌而成。写作:截至2014年2月14日。“嫦娥二号”的飞行距离已到达七千万千米。写作:2.读出或写出下面横线上的数。埃及胡夫金字塔约由二百三十万块石料堆砌而成。读作:截至2014年2月14日。“嫦娥二号”的飞行距离已到达七千万千米。读作:能力点一:运用推理法解决组数问题例1用四个8和三个0组成满足下面条件的七位数。（1）一个0也不读的七位数有:（2）只读一个0的七位数有:

8（3）读出两个0的七位数有:（4）三个0都读的七位数有:分析:（1）一个0也不读0在每级末尾。一个0或连续两个0在个级中间;（2）只读一个00在个级首位，或连续两（三）个0在个级前几位;0在万级中间。（3）读出两个0（4）三个0都读三个0分别在万级中间、个级首位和十位。解此类题时，常注意以下几点:0不能写在首位上;0在每级末尾都不读出来;0在每级首位或中间时，不管有几个连续的0，都只读出一个“零”。能力点二:运用对应法解决较复杂的写数问题例2有一个五位数，最低位上的数字是8，最高位上的数字是3，个位上的数字是十位上数字的2倍，前三位数字的和与后三位数字的和都是19，这个五位数是多少?分析:可从已知数位上的数字开始推到，思路如下:（1）（2）（3）（4）解此类题应从已知条件入手，先确定某一数位上的数字，再根据数位上数字间的关系确定其他数位上的数字。

93.有0,0,0,2,9,7,3这七个数字，按要求写出符合条件的七位数各一个。（1）最大的七位数:（2）最小的七位数:（3）只读一个0的七位数:（4）读出两个0的七位数:（5）三个0都读的七位数:4.科学家贝尔在19世纪（1800～1899年）的某一年发明了电话，这一年的各个数字之和是22，且个位上的数字比十位上的数字少1，你知道这是哪一年吗？第10页“练习一”第14题分析:题目有四个要求:（1）读两个0的七位数，由于要读出两个0，因此两个0不能放在每级的末尾，应放在中间，还有一个可放末尾，也可与另两个0连在一起，如1020034,1023004,1023040等。（2）只读一个0，可把三个0连续放在一起（不能放在末尾），如1230004,1200034,1000234等。（3）所有的0都不读，可把0放在每级的末尾，如1002340,1203400等。（4）读三个0，由于三个0都读出来，应把0分开放在每级的中间，如1020304,2030401等。答案很多，下面只举一例。解:（1）1020034;（2）1230004;（3）1002340;（4）1020304。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.我会读（1）含有两级的数，在读数时，先读（）级，再读（）级。万级的数要按照（）的数的读法来读，再在后面加上一个（）字。（2）由5个千万、3个十万、7个千、2个十组成的数写作（），读作（）。（3）四百零七万零六百写作（），它是（）位数，最高位是（）位。

10（4）9009009的最高位是（）位，左边的“9”表示9个（），中间的“9”表示9个（），右边的“9”表示9个（）。（5）最小的八位数是（），比它少1的数是（）。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）读11011000时，一个0也不读。（）（2）六十万零四十七，写作:60047。（）（3）万位、十万位、百万位、千万位是万级的计数单位。（）（4）万级的数表示多少个万，个级的数表示多少个一。（）（5）百万位上的“9”表示900万。（）（6）两个计数单位之间的进率都是十。（）3.看计数器写数，再读出来。写作:写作:读作:读作:★提升能力题4.按要求涂色。5.（1）在数字“3”和“4”中间添多少个0是三千万零四？（2）一个数，它的千万位和千位上都是5，其余各位上都是0，写出这个数。

116.用、、、、、、组成一个只读一个0的最大七位数。★探究创新题7.某地区的电话号码是七位数，请问这个地区最多有多少部电话？（首位不为零）（2）亿以内数的大小比较、改写及求近似数课前自主学习引导中国地处亚洲，陆地面积美国地处北美洲，陆地面积约9600000平方千米。约9158960平方千米。小朋友，你知道中国和美国哪个国家的陆地面积更辽阔吗？你能将上面横线上的两个数改成用“万”作单位的数吗？相信通过本节知识的学习，这些问题就能迎刃而解了！1.掌握亿以内数的大小的比较方法，能正确地比较粗几个数的大小。2.会将整万的数改写成用“万”作单位的数。3.会用“四舍五入”法把一个较大的数省略万位后面的尾数，求出它的近似数。4.培养分析问题、解决问题的能力。（见活页部分）

12课堂精讲精练强化知识点一:亿以内数的大小的比较方法比较两个数的大小的方法:（1）先看位数，位数多的数就大;（2）位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较粗大小为止。例5（第11页）下面是2011年几个国家到我国旅游的人数。（单位:人）你会比较每两个国家到我国旅游的人数吗？分析:比较两个数的大小，先看这两个数各是几位数，位数越多，这个数就越大。如:美国（2116100）>泰国（608000），韩国（4185400）>印度（606500）。七位数六位数七位数六位数若位数相同，先比较最高位上的数，最高位上的数大的那个数就大。如果最高位上的数也相同，就比较下一个数位上的数，以此类推，如:4185400>3658200,2536300<3658200,2536300>2116100,608000>606500。亿以内数的大小的比较方法同万以内数的大小的比较方法相同。知识点二:把整万的数改写成用“万”作单位的数把整万的数改写成用“万”作单位的数的方法:将万位后面的四个0省略，换成一个“万”字。把整完的数改写成用“万”作单位的数，只是为了读写方便，这个数的大小并未发生变化。

13例6（第12页）分析:题中的两个数的个级全是0，这样的数是整万数。将它们改写成用“万”作单位的数时，先将整万数分成个级和万级，再将个级的四个0去掉，换成一个“万”字。如:5000000=500万10000=1万换成换成知识点三:将非整万的数用“四舍五入”法改写成用“万”作单位的近似数1.生活中一些事物的数量，有时不能活不需要准确地表示出来，可以用近似数表示。近似数前面一般有“约”字。2.省略万位后面的位数求近似数的方法:当千位上的数字等于或大于5时，先万位进1同时把万位后面的位数舍去并加上“万”字;当千位上的数字小于5时，直接把万位后面的位数舍去，并加上“万”字。这种方法称为“四舍五入”法。例7（第13页）在生产和生活中，人们经常使用近似数。分析:题中要求的是近似数，所以要先用“四舍五入”法把题中数据改写成整万数，再将整万数改写成用“万”做单位的数。“四舍五入”到万位时，看省略的尾数部分的最高位（即千位）上的数是小于5还是等于或大于5。若小于5，就把位数直接舍去，改写成0。若等于或大于5，要向它的前一位进1，再把它和右面的数全舍去，改写成0。12756≈100001389000≈1390000

14求一个数的近似数首先要确定省略的是哪一位后面的尾数，然后看省略的位数的最高位上是几，最后按“四舍五入”法求出近似数。近似数是接近准确值的数，数的大小发生了改变，所以中间用“≈”（约等号）连接。1.将下面各数按从大到小的顺序排列起来。3040080340080300408030480003004800（）>（）>（）>（）>（）2.连一连。3.文峰都是花园小区的建筑面积为1350687平方米。原数要求近似数1350687省略百位后面的尾数省略万位后面的尾数省略十万位后面的尾数能力点一:运用“四舍五入”法解决填数问题例1下面的□里可以填哪些数？（1）29□734≈29万（2）369□945≈370万分析:把“≈”左边万级上的数与右边用“万”作单位的数进行比较，便可以确定“≈”右边的数是用“四舍”法还是“五入”法求出的近似数。第（1）题中左边万级上的数是“29”，右边是29万，比较可知是用“四舍”法求的近似数，所以千位上的数小于，可以填0,1,2,3,4。同理，第（2）题是用“五入”法求的近似数，所以千位上的数等于或大于5，可以填5,6,7,8,9。

15能力点二:运用分析法求近似数的最大值和最小值例2一个数省略万位后的尾数后约是5万，这个数最大是多少？最小是多少？分析:一个数省略万位后面的尾数约是5万，最大的数一定是大于5万的数，最小的数一定是小于5万的数而大于4万的数。要使“5□□□□”省略万位后面的尾数后约是5万，千位上一定是小于或等于4的数才能满足“四舍”的条件，故只有千位上填4、其他各位填9时，才能满足最大的条件，所以这个数最大是54999。最小的数是“4□□□□”，而只有当千位上填大于或等于5的数，才能满足“五入”的条件0，故只有千位上填5、其他各位填0时，才能满足最小的条件，所以这个数最小是45000.此类题是逆向应用“四舍五入”法，要满足最大的条件，首位与改写后的数相同，位数的最高位一定是4，其他数位是9;要满足最小的条件，首位比改写后的数小1，位数最高位一定是5，其他数位是0。4.在□里填上合适的数，使式子左边的数最大。68□542≈68万27□680≈28万53□024≈54万79□825≈80万149□526≈150万109□980≈109万5.一个七位数“四舍五入”到万位是200万，这个数最大是（），最小是（）。课后巩固拓展研究★夯实基础题1.2006年全年入境旅游人数为91000000人次，其中外国人11300000人次，入境过夜旅游者3270000人次，旅游外汇收入17300000000美元。把这些数改写成用“万”作单位的数。91000000=11300000=3270000=17300000000=2.先写出下面个数，再省略万位后面的尾数，求出近似数。（1）二十九万五千零六十（2）五万四千九百二十七

16（3）一百二十八万零六（3）六百三十七万八千四百3.按从小到大的顺序排列下面各数。3008930889330083809838809★提升能力题4.选择题。（将正确答案的序号填在括号里）（1）738601千克改写成用“万”作单位的近似数是（）万千克。①74②70③73（2）下面各数中，最接近200万的数是（）。①199900②2009080③1995006（3）下列三个数中，最小的数是（）。①100254②102540③1024505.在下面的□里填上合适的数。4□457≈4万8□□400≈900000989□000≈990万399□468≈400万★探究创新题6.一个数省略万位后面的尾数的近似数是83万，这个数最小是多少？最大是多少？2.数的产生、十进制计数法及亿以上数的认识课前自主学习同学们，让我们和红红、丽丽一起进入本节内容的学习，去了解有关大数的知识吧！

171.了解数的产生，建立自然数的概念，掌握自然数的性质和特点。2.理解并掌握十进制计数法的含义。3.探索并掌握亿以上的数的读写方法。4.能将整亿的数改写成用“亿”作单位的数;会用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数，求出它们的近似数。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识自然数1.数的产生是人类生产、生活的需要，数字是逐步发展和完善的，现在通用的阿拉伯数字，即1,2,3,4,5,6,7,8,9,0。2.表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。最小的自然是是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。例1（第16～17页）古时候，人们在生产劳动中，逐渐有了计数的需要。你知道古人是这样计数的吗？分析与解:（1）数的产生人们在劳动生活中有了记数的需要，比如数人数、数物体个数和数猎物的数量等，因此就产生了数。（2）古时人们记数的方法①用实物记数:古人在出去放羊时，每放出一只羊，就摆一个石子，一共放出多少只羊，就摆多少个小石子，放羊回来再把这些石子和羊一一对应起来，若石子的个数与羊的只数一样多，就说明羊没丢。②结绳计数:古人每打到一只猎物，就在绳子上打一个结，用来统计猎物数量。

18③刻道记数:古人用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量，即每刻一道代表捕到一条鱼。（3）数字的产生随着人类文明的发展，后来人们逐渐发明了一些记数符号，这就是最初的数字。各个国家和地区的记数符号是不同的，如:巴比伦数字:中国数字:罗马数字:经过很长时间，才逐渐统一成现在这种通用的阿拉伯数字。（4）自然数的认识数字可以用来记录物体的个数。表示物体个数的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…都是自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。所有的自然数都是整数。最小的自然是是0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。知识点二:认识十进制计数法个（一）、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位。像这样每相邻两个计数单位之间的精力都是十的计数方法叫做十进制计数法。例2（第18页）填出剩下的数位和计数单位。你发现了什么？数级……亿级万级个级数位……（）位（）位（）位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位……（）（）（）亿千万百万十万万千百十个分析:根据个级和万级中每相邻两个计数单位之间的关系，可以类推出:从一亿开始，还可以继续数下去:10个一亿是十亿，10个十亿是一百亿，10个一百亿是一千亿。所以亿级的四个数位依次是:亿位、十亿位、百亿位、千亿位，对应的计数单位分别是:亿、十亿、百亿、千亿。解:数级……亿级万级个级数位……(千亿)位(百亿)位(十亿)位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位计数单位……(千亿)(百亿)(十亿)亿千万百万十万万千百十个

19知识点三:亿以上数的读法亿以上数的读法:（1）先分级，再从最高级读起;（2）亿级或万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上“亿”字或“万”字;（3）每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0.例3（第19页）试读出下面各数。分析:亿以上数的读法与亿以内数的读法类似。读数时，先分级，再从最高级读起，一级一级地往下读。如:70⁞0000⁞0000，先读亿级的数，“70”读作“七十”，再在后面加上“亿”字;万级和个级上都是0，0在末尾，都不读。所以这个数读作“七十亿”。100⁞4000⁞2000，先读亿级的数，“100”读作“一百”，再在后面加上“亿”字;然后读万级的数，“4000”读作“四千”，再在后面加上“万”字;最后读个级上的数，“2000”读作“二千”。所以这个数读作“一百亿四千万二千”。4003⁞0500⁞0000，先读亿级的是数，“4003”读作“四千零三”，再在后面加上“亿”字;然后读万级的数，“0500”，首位有0，要读，后面两个0在末尾，不读，故读作“零伍百”，再在后面加上“万”字;个级上都是0，又在末尾，都不读。所以这个数读作“四千零三亿零五百万”。

20分级是读好大数的关键，同时别忘了添上相应的“亿”字和“万”字。还要注意什么位置上的0不读，什么位置上的0要读。知识点四:亿以上数的写法亿以上数的写法:（1）先看这个数有几级，再从最高级写起，一级一级地往下写;（2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0.亿以上数的写法与亿以内数的写法类似。例4（第20页）分析:写亿以上的数时，先要根据“亿”字和“万”字把数分级，然后从最高级起，读一级写一级。哪一位上一个计数单位也没有，就在那一位上写0占位。写亿以上的大数时，应注意除亿级外，万级和个级上都必须保证有四个数字。为避免写错，写完数后，可按读书方法把写出来的数再读一遍。知识点五:把整亿的数改写成用“亿”作单位的数一个整数，若万级和个级共8个数位上都是0，这个数就是整亿的数。改成整亿的数的方法:先分级，找到亿位，然后去掉亿位后面的8个0，同时在数的末尾加上一个“亿”字。例5（第20页）把下面各数改写成用“亿”作单位的数。200000000=2亿1000000000=亿530500000000=亿

21分析:将整亿的数改写成用“亿”作单位的数，先将数分级，找到亿位，去掉亿位后面的8个0，同时在亿级的数的后面添上一个“亿字”。知识点六:将非整亿的数改写成用“亿”作单位的近似数将非整亿的数改写成用“亿”作单位的近似数的方法:看亿位后面尾数的最高位（即千万位）上的数是否大于或等于5，若大于或等于5，则向亿位进1，省略亿位后面的尾数，同时加上“亿”字;若小于5，则直接省略亿位后面的尾数，同时加上“亿”字。例6（第21页）省略下面各数亿位后面的尾数，求出它们的近似数。1034500000≈亿9876540000≈亿分析:不是整亿的数，省略亿位后面的尾数求近似数时，要先将数分级，再用“四舍五入”法，看位数的最高位（千万位）上的数字是否满5。若满5则向前一位进1，不满5则直接舍去尾数。1034500000≈10亿千万位上的数小于5，把亿位后面的尾数都舍去，添上一个“亿”字。9876540000≈99亿千万位上的数大于5，向亿位进1，再省略亿位后面的尾数，添上一个“亿”字。省略亿位后面的尾数求近似数的方法与省略万位后面的尾数求近似数的方法类似，先分级找到亿位，再将千位位上的数“四舍五入”取近似数;去掉尾数的同时，要记得在后面添上一个“亿”字。1.读出下面各数。（1）86200000000读作:（2）20500700000读作:（3）430043004300读作:2.写出下面各数。二十七亿零四百万写作:四千三百亿零六十万五千写作:六千八百亿六千八百万零六十八写作:

223.把下面的数改写成用“亿”作单位的数。4900000000001080000000008000000004.省略下面各数亿位后面的尾数，写出它们的近似数。3849200000196043770050073269000能力点一:解决排列数的大小问题例1把下面各数按从小到大的顺序排列。400060039万6400004亿4600000分析:39万=390000,4亿=400000000,390000和640000都是六位数，4000600和4600000都是七位数，400000000是九位数、（1）390000和640000:十万位上3<6，所以390000<640000。（2）4000600和4600000:百万位上都是4，十万位上0<6，所以4000600<4600000。解此类题，应先把这组数的计数单位统一，再按万以上数的大小的比较方法来解答，最后按顺序排列时要用原题中的数，而不是改写后的数。能力点二:运用推理法解决填数问题例2在下面的□里填上合适的数字，使一个数最近接9亿，另一个数最接近10亿。（1）9□8630000（2）9□8630000

23分析:（1）要使这个数最接近9亿，它必须舍去亿位后面的数。要填的数字在这个数的千万位上，并且是不满5的数中最小的一个，所以□里应填0。（2）要使这个数最接近10亿，在省略亿位后面尾数的同时，还必须向亿位进1，所以□里的数字应该等于或大于5，并且是这些数中最大的一个，那么□里应填9。解决此类填数问题时，关键看千万位上的数的大小，利用“四舍五入”法省略亿位后面尾数的方法进行填数。5.在下面的□里填上合适的数，使一个数最接近99亿，另一个数最接近100亿。（1）99□5037000（2）99□50370006.用0、0、0、0、5、7、3、8、2任意写出五个九位数，并把它们按从小到大的顺序排列。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.把下面的数位顺序表补充完整。数级……亿级万级个级数位……计数单位……2.读出下面横线上的数。（1）地球是人类诞生和居住的地方，是太阳系八大行星中的一个星球，它的年龄是4600000000岁。

24（2）地球上海洋的总面积约为361000000平方千米。3.写出下面各数。五亿八千六百万六千四百二十亿四十亿零六十万三千零七十亿零八万五千4.想一想，填一填。6978000000≈（）亿83480000000≈（）亿7543000000≈（）亿9958000000≈（）亿11956000000≈（）亿237498500000≈（）亿★提升能力题5.写出由下面各数组成的数。（1）八亿九千万四万五十（2）二百零三二百零三万二百零三亿（3）三千亿五亿六百万七千十二6.在下面的□里填上合适的数。（1）2□5280000≈2亿（填最小数）（2）26□4580000≈26亿（填最大数）（3）19□0062500≈20亿（填最小数）★探究创新题7.只读一个0的最大十位数是（），最小十位数是（）。8.用1、2、3、4、5和四个0组成一个最接近2亿的数，这个数是多少?

253.计算工具的认识、算盘、计算器课前自主学习引导1.认识常用的计算工具——算盘、计算器等，了解算盘的结构和计数方法，了解计算器常用的功能和实用方法。2.会用计算器进行基本的加、减、乘、除四则运算;并能借助计算器探索规律，培养初步的探索能力。3.感受计算工具在日常生活、生产实践中的作用，激发探索数学奥秘的兴趣。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:了解计算工具的发展和演变，认识常用的计算工具为了计算方便，人们发明了各种各样的计算工具，如算盘、计算器、计算机等。随着科学技术的进步，计算工具的使用越来越方便，计算速度也越来越快。例1（第23～25页）为了计算方便，人们发明了各种各样的计算工具，说一说你对它们的了解。分析与解:（1）了解计算工具演变的历史二千多年前，中国人用算筹计算→一千多年前，中国人又发明了算盘→17世纪初，英国人发明了计算尺→17世纪中期，欧洲人发明了机械计算器→20世纪40年代，单身了第一台电子计算机→20世纪70年代，发明了电子计算器。（2）认识算盘算盘是我国古代的发明，是我国的传统计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用。算盘可以用来计算，还可以用来记数。算盘的记数方法:在算盘上记数前，先要确定把某一档作为个位，向左依次是十

26位、百位、千位……记数时，要把算珠拨到靠梁，才表示算盘上有数。每一档的上珠代表5，下珠代表1.百位:1颗上珠和1颗下珠，表示6;十位:1颗珠子也没拨，表示0;个位:2颗下珠，表示2。所以算盘上表示的数是602。（3）认识计算器计算器携带方便，计算又对又快，是目前人们广泛使用的计算工具。常用键的功能:①开关及清楚屏键ON/C，用于计算的开始，打开计算器，清楚显示屏上的值和计算指令。②清楚键AC，清楚当前显示的数据和运算符。③运算符号键＋－×÷和等号键＝，这些键可以分别完成加、减、乘、除运算并得出结果。知识点二:用计算器进行计算用计算器进行没有括号的四则运算时，要先按开关键开机，然后按照左到右的顺序依次按数字键或运算符号键，最后按＝键便会得出结果。例2（第26页）按照下面的步骤，用计算器算一算。386＋179＝自己试试看。825－138＝26×39＝312÷8＝分析:使用计算器计算时，先按下开关键，对于一步计算的算式，可直接从左到右依次先按数字键输入第一个数，再按运算符号键＋、－、×、÷，接着输入第二个数，最后按等号键即可得出计算结果。知识点三:用计算器计算并探索规律1.遇到特殊的计算时，要认真观察、分析，找出其中的规律再计算，这样会更快捷。2.利用规律直接写出得数后，可再用计算器验算，检验结果是否正确。

27例3（第26页）用计算器计算下面左边各题。9999×1＝99999999×2＝9999×5＝9999×3＝9999×7＝9999×4＝9999×9＝不用计算器，你能直接写出上面右边各题的答案吗？分析:用计算器左边各题的结果:9999×2＝19998,9999×3＝29997,9999×4＝39996。观察发现，每道算式积的中间都是3个9，积的首位与末位组成的数是9与第二个因数的乘积。根据以上规律，我们可以很快写出右边各题的答案。解此类题，先用计算器算出前几题，然后观察算式结构的特征和所得结果的结构特征，从中找出规律，这样就可以直接写出后面算式的结果。1.我会填。（1）算盘横梁上方每颗珠子代表（），下方每颗珠子代表（）。（2）＋－×÷叫（）键，AC叫（）键，ON/C叫（）键。（3）用计算器计算“15×4”时，按ON/C键打开计算器，先输入（），然后输入（），接着输入（），最后输入（），屏幕上出现的数（）就是计算的结果。这道题算完后，只需按（）键，就可以进行另一道题的计算了。2.先用计算器计算下面左边各题，再直接写错右边各题的结果，并用计算器验算。21×9＝54321×9321×9＝654321×94321×9＝7654321×9能力点一:运用逆推法解决错中求解的问题例1小马虎在用计算器计算某一题时，把一个因数的前两位数字按反了，结果与38相乘得89566。你能帮他算出正确的积吗？

28分析:根据乘法各部分之间的关系，我们可以知道“一个因数＝积÷另一个因数”。由题目中告诉的数据，我们可以先算出按反了以后的因数，调整后再用正确的因数与38相乘即可得出正确的积。解答此类题先要“将错就错”，算出错误的得数，调整后再计算出正确答案。能力点二:运用归纳法解决探索计算规律的问题例2计算:111111111×111111111分析:这道题的数较大，位数比较多，用计算器也可能无法算出来。可以从简单的数算起，找出规律，再根据规律写出答案。1×1＝1,11×11=121,111×111＝12321,1111×1111＝1234321……由此可以找出规律:当1的个数不大于9时，。有些复杂的计算，思考时可以把问题简单化，先计算出在简单情形下的结果，找出规律，然后根据规律找出复杂计算的结果。3.计算:33333×333334.明明用计算器计算一道出发算式题时，把被除数的前两位数字按反了，结果除以5得到87437，请你想一想，正确的商应是多少？

29课后巩固拓展探究★夯实基础题1.填一填。（1）落在计算器上一次按键后，屏幕上将显示（）。（2）用计算器计算253-832÷4时，先计算（），得到的结果是（）;再用计算器计算（），最后得到的结果是（）。（3）这是2008年奥运会火炬手的数量，你能写出算盘上的数吗？境内（）人境外（）人总数（）人2.用计算器计算。487＋269＝59×346＝807－578＝5535÷41－83＝365×508＋2789＝3.你能用计算机快速计算后填空吗？259＝99＋（）999÷（）＝2718×62＝（）÷12659＋459＝（）×261376÷43＝（）－89285×32＝（）＋283★提升能力题4.用计算器探索规律（1）9×9－1＝（2）12×9－8＝98×9－2＝123×9－7＝987×9－3＝1234×9－6＝9876×9－4＝12345×9－5＝根据你发现的规律继续写算式。5.计算:333333333×333333334

306.下面结果是计算器“算”出来的，估计一下，结果合理吗？分析一下错误原因。3741÷87=3654845－276=11211242＋356=88679×46=3397★探究创新题7.请用计算机算出方框里是几，找出规律后再写三道算式。999999÷9=111111□99999□÷9=222222□99999□÷9=333333□99999□÷9=4444441.2328600读作:。2.四千三百万万零八十五写作:。3.25000025万。（填入合适的符号）4.一个数在省略亿位后面的尾数之后是20亿，这个数最大是。5.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）下面算盘上显示的数是752。（）

31（一）数字与数位的奥秘我们知道，像0,1,2,3……9等都是用来记数的符号，叫做数字。一个数中，每一个数字都占有一个位置，这些位置就是数位。同一个数字，所处的位置不同，表示的数的大小也就不同。例如:2在个位上，表示2个一;2在十位上，表示2个十;2在百位上，表示2个百。下面就让我们来研究数字与数位的奥秘吧！例1一个一位数，在它的前面写上2，所得的两位数是原来的一位数的6倍，原来的一位数是多少？分析:如果在数字“5”的前面协商2，就是25，25比5多了20。所以，在一个一位数的前面写上2，所得的两位数就比原来一位数多20，再根据“所得的两位数是原来一位数的6倍”，可利用差倍问题的解题方法求原来的一位数。例2王强买了一本科幻小说，他翻到最后一页一看，这本书共有127页。他想知道编印这本书的页码共用了多少个数字，你能帮帮他吗？分析:要先知道共用了多少个数字，我们想要弄清楚页码的编排规律。一本书的页码，是从1开始的自然数，到127页，那就是有127个数，我们可将127个数根据位数的多少分为三类:一位数、两位数、三位数。一位数是从第1页到第9页，共9页，每页页码只有1个数字，所以共有1×9=9（个）数字;两位数是从第10页到第99页，共90页，每页页码都有2个数字，所以共有2×90=180（个）数字;三位数是从第100页到第127页，共28页，每页页码都有3个数字，所以共有3×28=84（个）数字。1.一个两位数，在它的后面写上0，所得的三位数比原来的两位数多243.原来的两位数是多少？

322.张刚买了一本《格林童话》，这本书一共186页。编这本书的页码一共要用多少个数字？

332公顷和平方千米课前自主学习引导天安门广场是首都北京的象征，它于1986年被评为“北京十六景”之一，景观名“天安丽日”。天安门广场占地面积为44公顷，东西宽300米，南北长820米，是北京的心脏地带，是世界上最大的城市中心广场。同学们，你们知道“1公顷”到底有多大吗？“公顷”与“平方米”、“平方千米”之间有什么关系呢？相信你们学习了这一节之后就能明白了。1.认识计量土地面积常用的单位:公顷和平方千米。2.感受1公顷和1平方千米的实际大小。3.掌握土地面积单位之间的换算关系，并能解决简单的实际问题。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识土地面积单位“公顷”测量土地的面积，可以用“公顷”作单位。边长是100米的正方形面积是1公顷。1公顷=10000平方米例1（第34页）“鸟巢”真壮观呀！它的占地面积约20公顷。那么1公顷有多大呢？分析与解:边长是100米的正方形，面积是1公顷，而正方形的面积=边长×边长，即100×100=10000（平方米）。所以有1公顷=10000平方米。“鸟巢”的占地面积约20公顷，相当于20个边长是100米的正方形拼起来那么大。知识点二:认识计量比较大的土地面积所用的单位“平方千米”计量比较大的土地面积，常用“平方千米”（km2）作单位。边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。

341平方千米=1000000平方米=100公顷例2（第35页）我国陆地领土面积约为960万平方千米，1平方千米米有多大？分析与解:边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。1千米=1000米，1000×1000=1000000（平方米）=100公顷，即1平方千米=1000000平方米=100公顷。因为天安门广场的占地面积约44公顷，44×2=88（公顷）<100公顷，所以1平方千米比2个天安门广场还要大一些。1.在（）里填上合适的单位名称。（1）一个小型飞机场的跑道面积约是20（）。（2）世界自然遗产——四川九寨沟的面积大约是720（）。2.填一填。30000平方米=（）公顷9公顷=（）平方米7平方千米=（）平方米500公顷=（）平方千米4000000平方米=（）平方千米6平方千米=（）公顷能力点:运用分析法进行单位之间的换算例农场有一块边长为400米的正方形试验田，如果每公顷试验田需施化肥150千克，农场现有化肥2000千克，够吗？若不够，还需买化肥多少千克？分析:题中已知每公顷试验田需施化肥150千克，要判断2000千克化肥够不够，应先求出这块试验田的面积。先根据“正方形的面积=边长×边长”求出面积，再将面积单位“平方米”换算成“公顷”即可。求出的面积是几公顷就需要几个150千克的化肥，再与2000千克进行比较。把高级单位改写成低级单位要乘进率，把低级单位改写成高级单位要除以进率。

353.一块长方形的小稻田，长450米，宽200米。如果每公顷稻田收水稻5吨，这块稻田一共收水稻多少吨？课后巩固拓展探究★夯实基础题1.填空。（1）测量土地的面积，可以用（）和（）作单位。（2）边长是20米的正方形，面积是（），（）个这么大的正方形的面积是1公顷。（3）王步步家买了套100平方米的新房，（）套这样的房子面积是1公顷。（4）文化公园的占地面积约为20公顷，（）个这样的公园的占地面积约为1平方千米。2.我会换算。43000000平方米=（）公顷=（）平方千米15平方千米=（）公顷=（）平方米3.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）公顷和平方米之间的进率是100。（）（2）1平方千米比1公顷大。（）（3）方方家真大！四室两厅两卫，约有1公顷。（）（4）周长是1000米的正方形麦地，面积是1平方千米。（）4.在（）里填上适当的面积单位。（1）小华家客厅的面积约为38（）。（2）白云小学的占地面积约2（）。（3）武汉市位于湖北省中部，面积约8494（）。（4）上海世博会中国馆的总建筑面积约16（）。

36★提升能力题5.一块长方形试验田，长200米，宽150米，面积是多少公顷？6.一块正方形麦地，边长是500米，它的面积是多少平方米？合多少公顷？★探究创新题7.压路机每分钟行25米，车轮宽度是2米，压路机压路10小时，一共压路多少平方米？和多少公顷？1.3平方千米=（）公顷。2.青藏高原是世界上海拔最高的高原，中国境内面积约257000000公顷，合（）平方千米。（二）平面图形的面积有些平面图形的面积计算必须借助图形本身的特征，运用平移旋转、剪拼组合等方法，进行合理的变形，才能寻求出解题的途径。

37例如图，四边形ABCD是边长为18厘米的正方形，已知CE的长度是ED的2倍，求:（1）三角形CEF的面积;（2）DF的长度。分析:三角形CEF的面积（阴影部分）为三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之差，此题的难点在于要根据图形的特征，理解DF是三角形CEF中CE边上的高。（2）DF是三角形CEF中CE边上的高，所以DF的长度为54×2÷12=9（厘米）。由此例可以看出，充分利用图形的内在联系，找出面积具有等量关系的图形是我们解决此类问题的基本途径。1.如右下图，四边形ABCD是长为8厘米、宽为6厘米的长方形，AF的长是4厘米，求三角形AEF的面积。2.求右下图中阴影部分的面积。（单位:厘米）

383角的度量1.线段、直线、射线和角及角的度数课前自主学习引导这天上午阳光明媚，线段在花园里的花丛中玩耍，直线和射线也来到这里，它们看见线段就开玩笑说:“你这么矮能摘到漂亮的花吗？”线段不服气，就叫来比自己高得多的20米的哥哥来和直线、射线比长短。可是这一比却让线段傻眼了:为什么刚才看起来只比自己高一点的直线和射线，现在却比20米的哥哥还要高呢？聪明的小朋友，你知道为什么吗？一起去本节知识中寻找答案吧！1.认识线段、直线和射线，了解三者之间的联系和区别。2.了解角的概念，掌握角的表示方法和读法。3.认识角的计量单位，认识量角器，能正确使用量角器测量角的度数。4.培养空间想象能力、观察能力和动手操作能力。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识线段、直线和射线线段是一条直的线，有两个端点。直线是一条直的线，没有端点，可以向两端无限延伸。射线是一条直的线，有一个端点，可以向一端无限延伸。例1（第38～39页）（1）你认识线段、直线和射线吗？分析与解:如上图，一个拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。线段有两个端点。为了表述方便，可以用字母来表示线段，如线段AB。

39把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。直线没有端点，是无限长的。直线除了可以用“直线AB”表示，还可以用小写字母表示，如直线。像手电筒或探照灯等射出来的光线，都可以看作射线。把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。射线只有一个端点。射线可以用端点和射线上的另一点来表示，如射线AB。1.线段是直的，两端有两个端点，任意两点之间，线段最短。2.直线也是直的，没有端点并且无限长，线段是直线的一部分。3.过两点只能画一条线段和一条直线，但可以画两条射线。（2）直线、射线与线段有什么区别？分析:要找出直线、射线与线段三者之间的区别，可以从端点的个数、是否能向两端延伸和能否测量长度这几方面入手。判断一个图形是直线、射线还是线段，可以根据定义来判断，也可以从三者的区别进行判断。知识点二:认识角从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”来表示。例2（第39页）你认识下面的图形吗？

40分析与解:这三个图形都是从一点引出两条射线所组成的图形，我们把这样的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”来表示，上图的角都可以用“∠”来表示。如下图:知识点三:角的度量1.角的计量单位人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作1°。2.度量角的工具——量角器。3.用量角器测量角的度数的步骤:①把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。②角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。例3（第40～41页）（1）下面两个角哪个大些？大多少？（2）用量角器量出∠1和∠2的度数。分析:（1）要判断∠1和∠2的大小，可以用三角尺上的角来量一量、比一比。如下图，∠1等于三角尺的左下角，而∠2的另一条边在两个三角尺拼角的外部，说明∠2大于2个∠1，所以∠2>∠1。

41（2）按照量角器的使用方法量出角的度数:①把量角器的中心与∠1的顶点重合;②0°刻度线和∠1的一条边重合;③另一条边在量角器上所对的刻度是30°，所以∠1=30°;④同样的方法，量得∠2=75°。（2）量得∠1=30°，∠2=75°，所以∠2－∠1=75°－30°=45°，即∠2比∠1大45°。用量角器量角的度数时，要做到“两重合一对照”，即量角器的中心必须与角的顶点重合，0°刻度线必须与角的一条边重合;“一对照”指在读数时，当0°刻度线和角的一条边重合时，0°外圈，就对照外圈的刻度读出角的度数;0°内圈，就对照内圈的刻度读出角的度数。1.下面的图形，是直线;是射线;是线段。2.数一数，下图中各有几个角？3.先估计，再量出图中各角的度数。

42能力点一:运用线段图解决购票种类问题例1从甲地到乙地的铁路上共有大小车站8个（包括甲地、乙地）。请问铁路局为这几个站共需要准备多少种不同的车票？分析:可画线段图来帮助理解题意。根据经验，知道任何两站之间都要准备两种不同的车票。如甲地到乙地两站间要准备甲地→乙地的车票，又要准备乙地→甲地的车票，这是两种不同的车票。把甲地到乙地之间的8个站看作是线段端点，数得一共有多少条线段，准备的车票数就是线段数的2倍。也可以这样想，因为每一站点都可以直达另外7个站点，如A站点，有A→B，A→C，A→D，A→E，A→F，A→G，A→H，所以A站点需要准备7种车票。依此类推，B站点，C站点，D站点，E站点，F站点，G站点，H站点也都需要准备7种车票。如果铁路沿线上有n个站点，就需要准备n×(n－1)种不同的车票。能力点二:运用列举法数角的个数例2右图中有多少个角？分析:把∠ABO、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF看作基本角，那么:由1个基本角构成的角有:∠ABO、∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF，共5个;由2个基本角构成的角有:∠AOC、∠BOD、∠COR、∠DOF，共4个;由3个基本角构成的角有:∠AOD、∠BOE、∠COF，共3个;由4个基本角构成的角有:∠AOE、∠BOF，共2个;由5个基本角构成的角有:∠AOF，只1个。所以一共有5+4+3+2+1=15（个）角。由n个基本角组合成的图形，角的总个数=1+2+3+…+n。

434.从甲地到乙地的公路上有6个汽车站（包括甲、乙两地的汽车站），诞辰需要准备多少种不同的车票？5.请你按照一定的顺序数一数，一共有多少条线段？多少个角？课后巩固拓展探究★夯实基础题1.我会填。（1）线段有（）个端点，射线有（）个端点，直线（）端点。（2）过一点可以画（）条直线，过两点可以画（）条直线。（3）角的大小与角的两边所画的长短（）。（4）从（）引出（）条（）所组成的图形叫做角。（5）右图中有（）条线段，有（）条射线。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）直线可以向两端无限延长。（）（2）直线的长度是射线的2倍。（）（3）过一点可以画无数条射线。（）（4）汽车灯射出的光线可以看成是射线。（）（5）明明画了一条长10厘米的直线。（）（6）一个20°的角，在放大镜下看，大于20°。（）3.下面的图形，哪些是角？（是角的在括号里打“√”）

444.测量下面各角的度数。★提升能力题5.说出每个钟面上的时间，量出时针和分针所成的角度。6.画一画，经过下面任意两点画直线，可以画几条？★探究创新题7.数一数。2.角的分类和画角课前自主学习引导炎热的夏天，树荫下聚集了很多人乘凉，张奶奶和李奶奶带来了两把不同的折扇。小朋友，你认识这两把折扇打开后所形成的角吗？马上进入下面的学习，去了解更多关于角的知识吧！

451.认识几种常见的角:锐角、直角、钝角、平角和周角，掌握它们之间的关系，能依据角的度数正确区分这几类角。2.会用量角器根据给定的角的度数画角，初步培养作图能力和规范的作图习惯。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识直角、平角和周角1直角=90°角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。1平角=180°一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。1周角=360°例1（第42页）（1）三角尺上有一个角是直角，用量角器量一量，这个直角是多少度？分析:用量角器量角的方法直接量出这个直角的度数。（2）下面所形成的两个角你认识吗？分析与解:把折扇两边的扇骨看作两条射线，一条绕着扇子中心（射线端点）旋转半周，此时折扇的两条扇骨形成一个角，叫做平角（如下图）。把折扇两边的扇骨看作两条射线，一条绕着它的端点旋转一周，同另一条射线重合，此时折扇的两条扇骨形成的角叫做周角（如下图）。

46平角不是一条直线，而是角的两条边在同一直线上;周角看起来是一条射线，实际是角的两条边重合在一起。知识点二:角之间的关系各种角之间的关系:（1）锐角<直角<钝角<平角<周角;（2）1周角=2平角=4直角。例2（第42页）锐角、直角、钝角、平角和周角之间有什么关系？1周角=平角=直角分析:我们学过的五类角，其中锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°而小于180°，平角等于180°，周角等于360°。根据各类角的度数，即可得出这五类角之间的关系。要想尽快判断一个角是锐角、直角、钝角、平角还是周角，在头脑中要形成各类角的表象，特别要区分直角、平角、周角这三类特殊角。知识点三:角的画法用量角器画角的步骤:（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。（2）在量角器要求度数刻度线的地方点一个点。（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，所得图形即为所要画的角。例3（第43页）画一个60°的角。分析:使用量角器画角的步骤是:（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。（2）在量角器60°刻度线的地方点一个点。（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，所得图形即为一个60°的角。

47画角时通常可利用量角器，有些特殊的角也可以利用三角尺画出。要想将角画得标准，操作必须认真、规范。1.分一分。锐角:钝角:直角:平角:周角:2.画出下面各角。80°90°135°160°能力点:运用分割法解决用三角尺画角的问题例画一个15°的角，你能想出几种办法？分析与解:画一个15°的角，可以用量角器画，也可以用三角尺画，所以至少能想出两种办法。第一种办法:用量角器画出一个15°的角（如图①）;第二种方法:用一副三角尺画15°的角。先用三角尺画一个45°的角，再用带有30°角的三角尺再45°角里面话一个30°的角，减去这个30°的角，剩下的角就是15°的角（如图②）;或者先画一个60°的角，再用带有45°角的三角尺在60°角里面画一个45°的角。减去这个45°的角，剩下的角也是15°的角。用三角尺画角，当不能直接用一个三角尺画出所需要画的角时，我们就算一算此角可以由哪两个或者多个三角尺中所带的特殊角相加或相减得到。

483.画一个75°的角，你能想出几种办法？第46页“练习七”第14题分析:仔细观察这两幅图，发现左图中有一个直角，直角与我们要求度数的那个角合起来组成一个周角，周角是360°，所以只需从360°里去掉直角的度数即可。同理，有图先量出钝角的度数，再从360°里去掉这个钝角的度数即为所求角的度数。第46页“练习七”第15题分析与解:图①中，∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，那么∠1+∠3=∠2+∠3，两边同时减去∠3，所以∠1=∠2。图②中，∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，那么∠1+∠3=∠2+∠3，两边同时减去∠3，所以∠1=∠2。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.按要求把下面各角的度数分别填在合适的框内。

492.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）两个锐角的和一定大于直角。（）（2）三角尺上最大的角是钝角。（）（3）平角是直角的2倍，是周角的一半。（）（4）3时整，钟面上时针与分针所成的角是直角。（）（5）用一副三角尺可以拼出100°的角。（）3.选择题。（将正确答案的序号填在括号里）（1）95°的角是（）。①锐角②钝角③直角（2）一副三角尺能拼出的最大角的度数是（）。①180°②360°③90°（3）比直角大，比周角小的角（）是钝角。①一定②不一定③一定不4.画出与下面各角同样大小的角。★提升能力题5.画出下面度数的角，并指出它们分别是什么角。75°130°20°90°95°6.看图填空7.看图填一填

50★探究创新题8.用一副三角尺画出105°的角。1.图中共有条射线。2.这是一个度的角。3.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）大于90°的角是钝角。（）（2）平角就是一条直线，周角就是一条射线。（）（3）画角必须要用到量角器。（）（4）一条直线长100米。（）

51（三）折叠中的角我们已经学习了几种角，可以借助量角器以及直角、平角、周角之间的关系解决一些关于角的简单的问题。下面我们就来探讨一下折叠中的角的问题，以进一步不提高同学们的观察能力和空间想象能力。例如图，把一张正方形纸沿虚线对折，则折痕（即图①中的虚线）与正方形的边和一个顶点组合成了∠1、∠2，你知道∠1等于多少度吗？分析:比较图①②可以发现，图①中的正方形沿虚线对折以后，虚线两边都部分完全重合（如图②中阴影部分），同时∠1和∠2的两边也完全重合了，∠1与∠2又有公共顶点，故此时，∠1和∠2可视为同一个叫，即∠1=∠2。1.下图为一张长方形纸折起来以后的图形，其中∠2=60°，你知道∠1等于多少度吗？2.将一张正方形纸沿AB线折叠后如图所示，其中∠1=30°，你能求出∠2的度数吗？

524三位数乘两位数1.三位数乘两位数的笔算方法课前自主学习引导马小虎是四年级小足球队的队长。星期六，李老师带马小虎去为小足球队的队员们挑选运动鞋。在购物中心，他们看中了一款268元的鞋，如果买16双这种鞋，一共要付多少钱呢？李老师让马小虎算一算，马小虎很快列好了竖式，算出了结果。同学们，马小虎的计算正确吗？带着这个问题一起来学习下面的知识吧！1.初步了解估算在日常生活中的应用，掌握三位数乘两位数的估算方法。2.掌握三位数乘两位数的笔算方法。3.掌握因素末尾或中间有0的三位数乘两位数的笔算方法。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:三位数乘两位数的估算和笔算方法三位数乘两位数的估算方法:可把三位数看成整百、整十或几百几十数，把两位数看成整十数。估算时所得结果是近似数，要用“≈”连接。三位数乘两位数的笔算方法:先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐;再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。算出结果后，可以用计算器检验。例1（第47页）李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米。该城市到北京有多少千米？分析:求该城市到北京有多少千米，实际是求火车12小时行了多少千米。火车每小时行145千米，12小时行了12个145千米，列式为:145×12.可先估算，把145看作150，12看作

5310，150×10=1500，估计约有1500千米。笔算时，先用12个位上的2去乘145，得290，得数末位的0要与12个位上的2对齐;再用12十位上的1去乘145，得145，表示145个十，所以末位上的5要和12十位上的1对齐;最后将两次乘得的积相加，得1740。笔算完成后，可用计算器验算。三位数乘两位数，用两位数十位上的数去乘时，得数的末位一定要和两位数的十位对齐。同时要养成验算的好习惯，可用计算器进行验算。知识点二:因素末尾或中间有0的乘法的计算方法因数末尾有0的乘法的简便算法:先把0前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添上几个0。列竖式计算时，要注意书写格式，将末尾的0都放在一边，0前面的数的数位对齐。当第一个因数中间有0时，用第二个因数每一位上的数依次去乘得第一个因数每一位上的数，0也要乘。与0相乘后，再加上进上来的数，写在相应的数位上。例2（第48页）（1）160×30=分析:160×30，因数的末尾一共有两个0，可以先口算出16×3=48，再在积的末尾添两个0。笔算时，根据口算方法，先不考虑因数末尾的0，将0前面的数相乘，再在末尾添上两个0.（2）106×30=分析:106×30，因数106的中间有0，因数30的末尾有0。笔算时，先用30个位上的0去乘106，因为0乘任何数都得0，而且0加任何数都得原数，所以这步运算多余，可以省略。直接将30十位上的3与106个位上的6对齐相乘，再在积的末尾添上一个0即可。但要注意3与106十位上的0相乘得0这一步不能丢掉。

541.因数末尾有0的乘法，在列竖式计算时，要注意书写格式，末尾的0都放在一边，0前面的数的数位一定要对齐。2.因数中间有0的，要把0看成普通的数字参与运算，且要占位。1.口算。60×90=30×70=42×20=170×4=40×160=500×50=19×30=350×2=2.先笔算，再用计算器验算。323×64=75×138=417×35=280×70=403×24=36×109=3.丽江服装店计划购进上衣45件，裤子40条。（1）购进这些上衣需要多少钱？（2）购进这个裤子需要多少钱？能力点:运用分析法解决实际问题例兴业林场去年栽松树406棵，栽的杨树的棵树比松树的19倍还多27棵。兴业林场栽杨树多少棵？分析:根据题中的数量关系可知，杨树的棵树=松树的棵树×19+27，故要求杨树的棵树，可列式为406×19，再用相乘的积与27相加。

55三位数乘两位数，当第一个因数的中间有0时，用第二个因数个位、十位上的数依次去乘第一个因素的每一位（包括0，与0相乘得0后，再加上进位数）。4.为了保护环境，春蕾小学四年级的同学共回收废电池168节，其他五个两级回收废电池的总数比四年级的17倍少25节。全校六个两级的同学共回收废电池多少节？第50页“练习八”第12题分析与解:能组成很多三位数乘两位数的乘法算式，例如:用相同的个数字组成三位数乘两位数的乘法算式，要使乘积最大，则三位数的百位上的数字和两位数的十位上的数字的乘积应尽可能大些。比较可知，由0,2,3,4,5组成三位数乘两位数的算式中，520×43和430×52的乘积最大。

56课后巩固拓展探究★夯实基础题1.笔算下面各题。239×36=18×325=432×52=47×205=328×90=503×40=2.数学诊所。（对的打“√”，错的打“×”，并将错误的改正过来）3.在○中填上“>”“<”或“=”。600×10○10×66017×500○50×19045×200○150×6240×30○24×3004.一辆汽车每小时形式165千米，从甲地到乙地共行驶11小时。甲、乙两地相距多少千米？★提升能力题5.一个长方形花圃的长是132米，宽是55米，如果把宽也增加到132米，成为正方形花圃，面积会增加多少？6.修路队修公路，已知平均每天修108米，修了15天后还剩280米。这段公路全长多少米？

577.刘老师要买145个同一种类型的鼠标，她带了6000元钱，可以买哪一种？还剩下多少钱？★探究创新题8.一个两位数与101相乘的积有规律吗？（1）先笔算下面各题，看看得数如何。101×24101×3974×101101×65（2）根据上面的规律直接写出下面算式的得数。101×48101×89101×942.积的变化规律与常见的数量关系课前自主学习引导同学们，上面每组中的几道算式之间存在着什么样的联系呢？学习了本节知识，你们就能发现其中的规律了！1.探索并掌握当一个因数不变时，积随另一个因数变化的规律，并能灵活运用这个规律进行简便计算以及解决简单的实际问题。2.初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。3.理解并掌握单价、数量和总价三者之间的关系，以及路程、速度和时间三者之间的关系。4.理解用复合名数表示速度的含义。（见活页部分）

58课堂精讲精练强化知识点一:积的变化规律两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。例3（第51页）观察下面两组题，所以说你发现了什么？分析:第（1）组题中，第2、3题同第1题比，第一个因素不变，都是6，第二个因素分别乘了10、100，积也跟着发生了变化。6×2=126×20=1206×2=126×200=1200即:一个因数不变，另一个因数乘几，积也跟着乘几。第（2）组题中，第2、3题同第1题比，第二个因数不变，都是4，第一个因数分别除以2、4，积也跟着发生了变化。20×4=8010×4=4020×4=805×4=20即:一个因数不变，另一个引出除以几，积也除以几。知识点二:单价、数量与总价之间的关系每件商品的价钱，叫做单价;买了多少，叫做数量;一共用的钱数，叫做总价。她们之间的关系为:单价×数量=总价例4（第52页）解答下面的问题。分析:（1）每个篮球80元，买3个篮球就需要3个80元，列式为:80×3，可口算出得数。（2）每千克鱼10元，买4千克就需要4个10元，列式为:10×4。

59解:（1）80×3=240（元）（2）10×4=40（元）单价数量总价单价数量总价单价、数量、总价这三个量中，只要知道其中两个量，就能求出第三个量。三者之间的关系可总结如下:单价×数量=总价;总价÷单价=数量;总价÷数量=单价。知识点三:速度、时间与路程之间的关系1.一共行了多长的路，叫做路程;每小时（或每分钟等）行的路程，叫做速度;行了几小时（或几分钟等），叫做时间。它们之间的数量关系为:速度×时间=路程2.速度是指单位时间内所行的路程，它的单位是“路程单位/时间单位”，例如“米/秒”、“千米/时”等，分别读作“米每秒”、“千米每时”。例5（第53页）解答下面的问题（1）一辆汽车每小时行70千米，4小时行多少千米？（2）一人骑自行车每分钟行225米，10分钟行多少米？分析:（1）要求汽车4小时行多少千米，就是求4个70是多少，用乘法计算，列式为:70×4。（2）一人骑自行车每分钟行225米，求10分钟行了多长的如，就是求10个225是多少，列式为:225×10。速度、时间、路程这三个量中，已知其中两个量，就能求出第三个量。三者之间的关系可总结如下:速度×时间=路程;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间。

601.根据每组第一道算式的结果，直接写出后面算式的得数。（1）4×13=52（2）24×300=7200（3）480×5=24004×130=24×30=48×5=4×1300=24×3=480×25=40×13=12×30=240×5=2.不解答，只说出下列各题已知的是什么，要求的是什么。（1）一袋手撕面包12元，买6袋要多少钱？（2）红红骑自行车每小时行14千米，行70千米要用几小时？（3）蜻蜓每秒飞行4米，20秒能飞行多少米？（4）李老师买了8个同样的书包，花了400元，每个书包多少元？3.甲、乙两城相距570千米，一辆小轿车从甲城驶向乙城，去时用了6小时，返回时少用了1小时，这辆小轿车去时的速度是多少？返回时呢？

61能力点一:运用图示法解决行程问题例1一列火车以每分钟600米的速度通过一座长2800米的大桥，如果火车全长200米，从车头上桥到最后一节车厢离开大桥，一共需要多少分钟?分析：解决此类题可利用图示来说明。从图上可以看出，从车头上桥到最后一节车厢离开大桥，行驶的路程是桥长加上火车车身的长度。行驶的路程确定了，便可以根据“时间=路程÷速度”，求出这列火车通过全桥所用的时间。当火车过桥（或隧道）时，所行的路程=桥长（或隧道长）＋车身长，所用的时间=[桥长（或隧道长）＋车身长]÷速度。能力点二:运用积的变化规律解决求时间的问题例2一辆大货车从甲地到乙地要行驶8小时，一辆小轿车的速度是大货车的2倍，小轿车从甲地到乙地需要几小时?分析：可以运用对比的方法分析此题。因为速度×时间=路程大货车的速度×8=甲、乙两地的距离所以×2?不变小轿车的速度×时间=甲、乙两地的距离观察会发现，大货车和小轿车行驶的路程是相同的，也就是积不变，当积不变时，一个因数乘2，另一个因数必须除以2。在乘法中，要使积不变，两个因数的变化就必须相反，一个因数乘（或除以）一个数，另一个因数必须除以（或乘）相同的数。

624.一列火车通过180米长的桥用时40秒，以同样的速度，穿过300米长的隧道用时48秒。求这列火车的速度和火车的长度。5.王师傅加工一批零件用了12个小时，如果提高技术后每小时加工的零件数是原来的2倍，那么王师傅加工同样一批零件可比原来少用多少小时？课后巩固拓展探究★夯实基础题1.根据7×40=280，直接写出下面各题的积。14×40=21×40=49×40=28×40=35×40=7×20=2.因数30300300因数881616积48024004803.把下面的问题补充完整，再解答。（1）每箱牛奶68元，妈妈买了4箱，？（2）驼鸟每小时跑72千米，？★提升能力题4.右图中长方形地的长增加到56米，宽不变，扩建后的面积是多少?

635.下面是星火文具店2013年上半年销售文具情况的统计表：文具数量单价12元23元15元13元卖出数量158副113个126副236支每种文具各卖了多少钱?6.已知汽车走平路的速度是70千米/时，走上坡路的速度是50千米/时。某天，爸爸开车带小明到外地玩，上午走了4小时平路，下午走了3小时上坡路，终于到达目的地。★探究创新题7.小丽一家在双休日骑自行车到森林公园去玩。去时的速度是16千米/时，共行了3小时，返回时因逆风骑行，速度比去时每小时慢了4千米，返回时用了几小时?1.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）250×6的积的末尾只有一个0。（）（2）燕子的飞行速度约是95千米。（）2.纠错。3.两数相乘积是72，如果一个因数除以3，另一个因数不变，所得的积是。

64（四）破译算式谜算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算式中使一些数字或运算符号“残缺”，需要我们根据运算法则进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。例1在下面算式的□里填上合适的数字，使算式成立。分析:为了便于叙述，我们将各方框用字母代替。如右上图。第一步，由A4B×6的个位数为0及A4BXC的个位数为5可知B=5;第二步，由A45×6=1DE0可知，A只能为2或3，但A为3时，345×6=2070，千

65位上是2，不是1，不符合题意，所以A=2;第三步，由245XC=FG5可知，C是小于5的奇数，即C只能是1或3;当C取1时，245×16<8HJ，不合题意，所以C不能取1，只能取3，这样就可以填出所有方框里的数了。例2如果A≠B且A、B满足下面的算式，则A+B等于多少？AB×BA1143043154分析:由AB×B=304可知“B×B”未位是4，所以B可取2或8;当B=2时，A2×2=304，没有使等式成立的A值，所以B=8，此时A8×8=304，A8=304÷8=38，A为3。1.在下面算式的方框内填上合适的数字。2.下面算式中的“数”“学”“俱”“乐”“部”这五个汉字各应代表什么数字？1数学俱乐部数＝（）学＝（）×3俱＝（）乐＝（）数学俱乐部1部＝（）

665平行四边形1.平行于垂直课前自主学习引导课间活动时，学校的大操场上热闹极了。瞧！足球场上、双杠上都有热爱体育锻炼的小朋友，还有的小朋友正在跑步、拔河、跳高……1.认识平行线、垂线，理解平行与垂直的概念。2.会用三角尺画已知直线的垂线和长方形。3.理解“点到直线的距离”的含义及“与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等”这一关系。4.培养动手操作能力及作图能力。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识平行与垂直1.在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种:①平行;②相交。其中相交又分成垂直和不垂直两种情况。2.在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。上图a与b互相平行，记作a//b，读作a平行于b。3.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

67直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。例1(第56~57页)在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？分析:在纸上任意画两条直线，通过动手操作，会发现可能会有以下几种情况:观察并动手画一画，发现图①中两条直线不相交，再画长一些，仍然没有相交;图②中画出的两条直线不相交，但画长一些就相交了;图③中两条直线相交，量得相交所成的四个角都是直角;图④中两条直线相交，相交不成直角。知识点二:过直线上一点或直线外一点画垂线的方法画垂线就是要保证所画的两条直线相交成直角，所以画垂线时利用三角尺上的直角来画，比较方便。画完两条互相垂直的直线后，在垂足处标注垂直符号。例2（第58页）你能画出互相垂直的两条直线吗？分析：（1）可以用两把三角尺或量角器画互相垂直的两条直线。用两把三角尺画垂线的方法:①沿着一把三角尺的一条边画出一条直线;②用另一把三角尺的一条直角边紧靠第一把三角尺的那条边，沿着它的另一条直角边画出一条直线，这条直线就是第一步中所画直线的垂线。用量角器画垂线的方法:①用量角器画一条直线，在直线上任意点一个点;②将量角器的中心与直线上的点重合，0°刻度线与直线重合;③在量角器90°处点一个点，再把这个点和直线上的点连接起来，这条直线就是第一步中所画直线的垂线。（2）也可以用一把三角尺画已知直线的垂线。

68过直线上一点画已知直线的垂线的步骤:①使三角尺的一条直角边与已知的直线重合;②平移三角尺使它的直角顶点和直线上的已知点重合;③沿三角尺的另一条直角边画出一条直线;④标出垂直符号。过直线外一点画已知直线的垂线的步骤:①使三角尺的一条直角边与已知直线重合;②沿着直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边过直线外的已知点;③沿三角尺的另一条直角边画一条直线;④标出垂直符号。用三角尺画已知直线的垂线比较方便，移动三角尺时，必须保证与直线重合的直角边始终与直线重合，不能错位。在画线的过程中不能移动三角尺。知识点三:点到直线的距离和两条平行线之间的垂直线段的关系1.从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。2.端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等。例3(第59页）（1）从直线外一点A，到这条直线画几条线段。量一量所画线段的长度，哪一条最短？（2）下图中，a//b。在a上任选几个点，分别向b画垂直的线段。量一量这些线段的长度，你发现了什么？

69分析:（1）从直线外一点A到这条直线画出的多条线段中，必须有一条是过点A画出的这条直线的垂直线段。通过实际测量，比较后即可发现：垂直线段最短。（2）已知图中直线a//b，在a上任选几点，用过直线外一点画已知直线垂线的方法分别过在a上选取的几点向b画垂直的线段，实际测量后发现：画出的这些垂直线段的长度都相等。画平行线间垂直线段的方法与过直线外一点画已知直线的垂线的方法相同。知识点四:用画垂线的方法画长方形用画垂线的方法画长方形的步骤:1.画一条指定长度的线段作为长方形的长（或宽）;2.以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条与这条线段垂直的线段，长度是指定D的长方形的宽（或长）;3.把这两条线段另外的端点连接起来。例4（第60页）画一个长10厘米、宽8厘米的长方形。分析:知道长方形的长为10厘米、宽为8厘米，要画出这个长方形，关键是要画出长方形的四个直角。因为长方形相邻的两条边互相垂直，所以可以用画垂线的方法来画。画长方形时，可以根据长方形中长和宽互相垂直，借助三角尺来完成。

701.下面各组直线，哪一组互相平行？哪一组互相垂直？2.分别过点A画出相应直线的垂线。3.怎样修路最近呢？请你画出来。4.画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。能力点:运用分析法解决画图问题例在下面两条平行线之间画出一个最大的正方形。分析:正方形的特征:对边平行，邻边垂直，且四条边都相等。要使所画的正方形最大，应把平行线间的垂直线段的长度作为正方形的边长，且正方形的一组对边一定要在平行线上截取。

71在平行线间画最大的正方形，关键是明确正方形的边长，而边长恰好是两条平行线间垂直线段的长度。5.用画垂线的方法在长方形内画出最大的正方形。第63页“练习十”第15题分析:判断图中哪些线段互相平行，应先观察哪些线段的方向是一致的，初步确定后可在这两条线段之间画几条垂直的线段，量一量它们的长度是否相等，如果相等，那么这两条线段就互相平行。判断哪些线段互相垂直，看哪两条线段相交的角是直角，可用三角尺上的直角比一比。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.我会填。（1）在同一平面内（）的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（）。（2）从直线外一点到这条直线所画的（）最短，它的长度叫做这点到直线的（）。（3）黑板相邻的两条边互相（），相对的两条边互相（）。

722.找一找，填一填。（填序号）3.（1）过点B画AC的垂线。（2）过点B画AD的垂线。★提升能力题4.下面各图中，哪些线段互相平行？把各组平行线段涂上相同的颜色。5.为了实现“村村通有线电视”的承诺，镇文化站决定为木兰村接通有线电视信号。从哪里接入最省材料呢？请画图表示。6.下面是长方形的两条边，请把这个长方形画完整。★探究创新题7.下图中有（）组平行线，（）组垂线。

732.平行四边形和梯形课前自主学习引导生活中我们会遇到各种各样的图形，如篱笆、提坝、梯子、挂衣架、电动伸缩门等。同学们，你们认识这些图形吗？一起去下面的知识中寻找答案吧！1.概括并掌握平行四边形和梯形的特征。2.认识平行四边形的底和高;能说出梯形中各部分的名称;会画出平行四边形和梯形的高。3.理解平行四边形的不稳定性。4.掌握长方形、正方形、平行四边形和梯形等四边形之间的关系。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:认识平行四边形两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。例1（第64页）我们认识过平行四边形，你能说出在哪些地方见过平行四边形吗?平行四边形的边有什么特点？

74分析与解:（1）观察图中的梯子、挂衣架、停车场等，发现这些物体中都有平行四边形，如下图所示:（2）用三角尺量一量平行四边形每条边的长度，可知平行四边形的两组对边分别相等;再量一量对边之间垂直线段的长度，发现垂直线段的长度边相等。观察平行四边形的任一组对边，发现两条线段的方向是一致的。把这两条线段向两边延长，发现它们不会相交，由此可知平行四边形的对边互相平行。平行四边形的任意一条边都可以称作是平行四边形的底，所以平行四边形有两种不同长度的高。知识点二：平行四边形的特性平行四边形容易变形，具有不稳定性。例2(第65页）用四根吸管串成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉。两组对边有什么变化？拉成了什么图形?分析与解:通过动手操作，我们发现:虽然四根吸管的长度没有变化，但所串成的长方形状发生了变化，拉成了不同形状的平行四边形。由此可知，平行四边形容易变形。平行四边形的这种特点，在实际生活中有广泛的应用。知识点三：认识梯形1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。2.梯形中互相平行的一组对边中，通常把较短的边叫做梯形的上底，较长的边叫做梯形的下底，不平行的那组对边分别叫做梯形的腰。从梯形一条底边上的一点向另一条底边作垂直线段，这条线段叫做梯形的高。见图①。

753.两腰相等的梯形叫做等腰梯形（见图②）。有一个角是直角的梯形叫做直角梯形（见图③）。例3（第66页）你见过下面这样的图形吗?它们有什么共同点？分析与解:观察梯子、堤坝的横截面和跳箱，可以发现，它们都可抽象出这样的图形：观察这个图形可以发现：这个四边形有一组对边是平行的，并且长度不相等，另一组对边不平行。我们把这样的四边形称为梯形。知识点四：四边形之间的关系长方形、正方形、平行四边形、梯形都是特殊的四边形。长方形、正方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。例4(第66页）我们认识了哪些四边形？分析:我们认识了长方形、正方形、平行四边形、梯形等各种不同的四边形。用三角尺验证发现，它们的边都有各自的特点。长方形和正方形的两组对边是分别互相平行的，具备了平行四边形的所有特征，同时，长方形和正方形的四个角都是直角，所以它们可以看成是特殊的平行四边形，与平行四边形分为一类;梯形只有一组对边平行，单独分为一类;其他的是一组对边也不平行的四边形，即不规则的四边形，它们也单独分成一类。1.下面哪些图形是平行四边形（用“√”表示）？哪些图形是梯形（用“×”表示）？分别画出平行四边形和梯形的高。

762.在下表中适当的空格里画上“√”。四边形四边相等两组对边分别相等只有一组对边平行两组对边分别平行有四个直角正方形长方形平行四边形梯形3.先在点子图上画一个平行四边形和一个梯形，然后按下列要求答题。（1）量出平行四边形的底和高。（2）量出梯形的上底、下底和高。能力点一:运用分类法数图形的个数例1在长方形AENF中，把长分成四等份，宽是长的一半，按下图连线后，从这个长方形里可以找出多少个长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形?分析与解:（1）长方形共有7个，用字母表示为:ABGF、ADMF、AEVF、BCHG、BENG、CDMH、DENM。（2）正方形有3个，用字母表示为:ACHF、CENH、BDMG。（3）三角形有9个，用字母表示为:AFG、ABG、BGH、BCH、DCH、BHD、DMH、|MDE、MNE。（4）平行四边形有2个，用字母表示为:ABHG、DHME。（5)梯形有15个，用字母表示为:AFHB、BGHD、AFHD、BGME、AFME、BHME、AGHD、BHNE、AGME、CHME、AGNE、BHMD、AGHC、DHNE、AGMD。

77数图形时，要根据各图形呃特征，按照一定的顺序来数，不要重复，也不要遗漏。能力点二：运用分类讨论法解决分割图形的问题例2在下面的梯形中添上一条线段，把图形分成两部分，使其中一部分是梯形，另一部分是平行四边形。分析:首先，把这个梯形分成的两部分都是四边形，因此添上的线不能从梯形的顶点开始画。再者，得到的是一个平行四边形和一个梯形，而平行四边形要求两组对边分别平行，因此利用原梯形的一组对边平行，再创造一组对边平行即可。分割图形时先思考要得到的图形具有哪些特征，同时考虑可以利用原图形的哪些特征，综合考虑这些因素便能迅速分割出符合要求的图形。4.数一数，填一填。AEGB右图中有（）个平行四边形，有（）个梯形。5.在梯形里画一条线段，按指定要求分成两个图形。（1）一个平行四边形和一个三角形。（2）两个梯形。第69页“练习十一”第14题分析：在平行线AE和HF之间有5组互相平行的线段:A日和BG、DG和EF、BH和CG、CG和DF、BH和DF，它们和AE、HF可围成平行四边形，因此有2个普通的平行四边形，它们分别是平行四边形AHGB、平行四边形DGFE。有3个特殊的平行四边形，它

78们分别是平行四边形BHGC、平行四边形BHFD、平行四边形CGFD。有9个梯形，它们分别是梯形AHGC、梯形AHGD、梯形AHFD、梯形AHFE、梯形BHGD、梯形BHFE、梯形CGFE、梯形BGFD、梯形BGFE。在两条平行线之间找平行四边形时，有一组对边为两条平行线上的线段;在两条平行线之间找梯形时，梯形的两个底在两条平行线上。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.选一选。（1）长方形有（），正方形有（）。（2）平行四边形有（），梯形有（）。2.画出下面平行四边形和梯形的高，并标出相应的底。3.下图中有几个梯形?4.判断题。（对的打“√”，错的打“x”）（1）长方形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的正方形。（）（2）长方形和正方形也容易变形。（）（3）梯形的任意一条边都可以作底。（）（4）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（）

79★提升能力题5.如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，用量角器量一量，你发现了什么？∠A＝（）∠B=（）∠C=（）∠D=（）我的发现:。6.按要求在下面各图中添一条线段分割图形。（1）分成一个长方形和一个三角形。（2）分成一个正方形和一个四边形。7.一个等腰梯形的上底长2厘米，下底长4厘米，它的周长是14厘米，这个等腰梯形的腰长是多少厘米？★探究创新题8.数一数，填一填。判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）在同一平面内不相交的两条线叫平行线。（）（2）有一组对边平行的四边形是梯形。（）（3）过平行四边形的一个顶点向对边能作无数条高。（）（4）两条直线相交，它们就互相垂直。（）

80（五）长方形和正方形的周长长方形和正方形的周长是指围成这个图形的四条线段的长度总和。长方形周长=(长+宽)×2，正方形周长=边长×4。对于一些稍复杂的问题，我们要学会一些平移、转化、分解、合并等图形变换技巧，化难为易，化繁为简。例1一个正方形被分成3个大小、形状完全一样的长方形，每个长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长。分析:根据题意可知，3个长方形的周长之和是24×3=72（厘米）。观察右图，可以发现3个长方形周长的和等于6条长与6条宽的长度和，正方形的边长等于长方形的长，也等于长方形3条宽的和，所以3个长方形周长的和等于正方形的8条边长。这样，就可以求出正方形的边长，然后再根据周长公式计算这个正方形的周长。例2如右图，由9个等边三角形拼成的六边形，中间最小的等边三角形的边长为1，这个六边形的周长是多少?分析:根据图形，我们可以把等边三角形按照边长分为四类:a、b、c、d。因为四类三角形的边长依次相差1，所以b=a+1，c=b+1，d=c+1,

81所以d=b+1+1=a+1+1+1，即d=a+3。又因为2a=d，所以2a=a+3，即a=3。于是d=2×3=6。这样b=a+1=3+1=4，c=b+1=4+1=5，这个六边形每条边的边长就都知道了，然后把六边形所有边的长度加起来即可求出周长。1.把一个正方形分成甲、乙两部分，比较甲、乙两部分周长的长短，并求出乙的周长。2.由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，如果这个图形的面积是400平方厘米，它的周长是多少厘米?

826.下面图形中，哪两条线段互相平行?哪两条线段互相垂直?（12分）7.数一数。（10分）8.解决问题。（13分）（1）一个等腰梯形，上底长3米，下底是上底的2倍，腰长4米，试求出它的周长。（4分）（2）如图所示，直线a与直线b互相垂直吗？为什么?（4分）（3）过A、B、C三点分别画出已知直线的平行线，看看你能发现什么?（5分）附加题。（20分）1.一个花园，外形是两个重叠的正方形（如下图），正方形的边长是4米，两个正方形重叠的相交点是正方形边长的中点。求这个花园的周长。（10分）2.下图是由4个完全一样的长方形和一个周长为16厘米的小正方形拼成的一个边长为12厘米的大正方形，则长方形的周长是多少厘米?（10分）

836除数是两位数的除法1.口算除法课前自主学习引导瓜园小学是远近闻名的特色跳绳学校，跳绳活动开展得有声有色。在学校举行的2014年跳绳专项运动会中，4~6年级每班派出30名运动员参加花样跳绳表演，同学们精彩的表现征服了现场所有的观众，赢得了一阵阵掌声。同学们，今天让我们一起去探究“口算除法”的方法吧！1.在探索、交流的过程中，掌握整十数除整十数、整十数除几百几十数的口算方法。2.能灵活运用“四舍五入”法进行除法的估算。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:整十数除整十数的口算及两位数除两位数的除法估算1.整十数除整十数的口算方法:①转化为表内除法计算;②想乘法，算除法。2.两位数除两位数的除法估算，一般是把算式中不是整十数的数用“四舍五入”法看成与它接近的整十数，再进行口算。例1（第71页）（1）有80面彩旗，每班分20面，可以分给几个班?分析:要求80面彩旗可以分给几个班，就是要看80里面有几个20，用除法计算，列式为:80÷20。用小棒分一分，可知能分给4个班。口算时，有一下两种方法:

84（2）想一想：83÷20≈80÷19≈分析:这是两道除法估算题，估算时通常把算式中不是整十的数用“四含五入”法看成与它接近的整十数，然后再用整十数除整十数的口算方法进行计算。如上面算式中的83和19可以分别看成80和20。知识点二：整十数除几百几十数的口算及两位数除三位数的除法估算1.整十数除几百几十数的口算，同整十数除整十数的口算方法相同，可以转化为表内除法计算，也可以想乘法，算除法。2.两位数除三位数的除法估算，一般把被除数看作几百几十数，或把除数看作整十数，然后再进行口算。例2(第71页）（1）150÷50=分析:这是一道整十数除几百几十数的口算，方法与整十数除整十数的口算方法相同。方法一:想乘法，算除法。方法二：转化为表内除法计算。（3）个50是150,15÷5=3150÷50=（3）。↓↓（2）想一想:122÷30≈120÷28≈分析:这两道除法估算题的解题方法与两位数除两位数的除法估算方法相同。先把被除数看作几百几十数，或把除数看作整十数，再口算出得数。估算方法并不是绝对的，应根据题目的特点灵活运用。比如:估算125÷30，如果用“四舍五入”法把125看作130，130÷30不能得出整数商，估算不方便，如果把125看作120，125÷30≈4，估算就方便了。

851.先口算再估算。60÷30=80÷40=100÷50=90÷10=64÷30≈80÷38≈98÷50≈90÷11≈320÷80=450÷90=270÷30=480÷80=324÷80≈450÷89≈272÷30≈480÷81≈2.参观博物馆。能力点一：运用线段图解决求数问题例1从450里减去一个整十数，得到的差再除以这个整十数，商是8。这个整十数是多少?分析:题中“得到的差再除以这个整十数，商是8”的意思是:差里面有8个整十数。而差是从450里减去一个整十数得到的，所以450里应该有9个这样的整十数，可用线段图来帮助理解。9个这样的整十数是450，求这个数用450÷9即可。解决此类问题的关键是认真分析题意，找准条件中各个数量间的关系。能力点二:运用估算法解决实际问题例2学校组织162名同学乘坐东湖风景船游览东湖，每条船限载20人，需要租多少条船？

86分析:由题意可知，这道题应该用除法计算，列式为162÷20。可以估算出结果，162接近160，把162看作160，则160÷20=8。如果刚好只有160人，租8条船正好。但162人比160人多2人，要想每人都能坐上船，剩下的2人还需要再租1条船，因此需要租9条船。估算是为了解决生活中的实际问题服务的，解此类题要注意联系实际生活正确进行估算。3.270加上一个整十数，得到的和再除以这个整十数，商是10。这个整十数是多少？4.一本故事书有356页，多少天可以看完?课后巩固拓展探究★夯实基础题1.在每把扇子中选择两个数，列出两道你学过的除法算式，并口算出结果。2.看谁算得又对又快。210÷70=140÷20=200÷50=450÷90=363÷60≈354÷50≈418÷60≈123÷60≈

873.我们一共摘了180个桃。4.甲、乙两站相距357千米，一辆客车从甲站开出，每小时行60千米，大约几小时到达乙站？乒乓球拍羽毛球拍篮球排球30元/副50元/副40元/个20元/个★提升能力题5.（1）如果只买排球，能买（）个。（2）如果只买篮球，能买（）个。（3）如果只买乒乓球拍，能买（）副。（4）如果把钱用完，你还有什么不同的购买方案?6.一捆铁丝长450米，每90米截一段。一共要截几次?★探究创新题7.某公司组织125名员工外出旅游，公司只有大小两种客车。已知大客车每辆可乘40人，小客车每辆可乘15人。请你帮忙算一算，要怎样派车，才能使每一辆车正好坐满呢?

882.笔算除法（1）商是一位数的笔算除法——用整十数除课前自主学习引导四（2）班代表队在花样跳绳表演比赛中获得第一名，班主任李老师买来64瓶饮料奖励参赛的队员们。李老师让班长明明帮忙分一分，可是明明却感到为难:64瓶饮料分给30个同学，每个同学能分到几瓶呢?聪明的小朋友，你能帮助明明解决这道难题吗?一起去本节知识中寻找答案吧！1.掌握除数是整十数的笔算除法的计算方法。2.明确商的位置，学会试商的方法，会判断商是几位数。3.培养分析问题和迁移类推的能力，养成认真计算的良好习惯。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:整十数除两位数的笔算方法整十数除两位数的笔算方法:(1)被除数里面有几个除数，商就是几，所以要把商写在个位上，而不能写在十位上;(2)余数要比除数小。例1（第73页）92本连环画，每班30本，可以分给几个班?分析:92本连环画，每班30本，求可以分给几个班，就是求92里面有几个30，用除法计算，列式为:92÷30。可以将92看作90，估算出得数;也可用笔算方法进行计算.列竖式计算时，可借助小棒图来帮助理解算理。92里面有3个30，还余下2，所以列竖式计算时，商应是3，写在个位上，余数是2.

8992÷30≈3方法二:列竖式计算。92÷30=3（个）……2（本）知识点二：整十数除三位数，商是一位数的笔算方法列竖式计算除数是整十数的除法时，先看被除数的前两位，如果前两位不够除，就看前三位。除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面。余数一定要比除数小。例2（第73页）178÷30=分析:列竖式计算时，除数30是两位数，所以先看被除数的前两位。17<30，被除数的前两位不够除，所以要看被除数的前三位。看178里面最多有几个30，商就是几。笔算除法试商的步骤:一看，确定商的最高位;二试，使商乘除数最接近被除数;三乘、减，把商和除数相乘，再用被除数去减，算出余数;四比，比一比余数是否大于除数，如果余数大于除数，说明商小了，要调大。1.先想一想各题的商的位置，再计算。

902.下面各竖式对不对?把不对的改正过来。3.用435元钱可以买几件这样的上衣？还剩多少钱？能力点一:运用抓不变量法解决错中求解的问题例1小丽在计算除法时，把被除数458个位上的8错写成了0，结果得到的商是9，那么正确的商是多少？有余数吗？分析:被除数个位上的8被错写成0后，变成450，而除数是不变的，由“除数=被除数÷商”可以求出除数，进而再列出原算式。根据除法各部分之间的关系和已知条件，先求出正确算式与错误算式中没有变化的量，再解答。能力点二：运用分析法解决实际问题例2修一条1千米长的水渠，已经修好了412米，剩下的如果每天修80米，还需要多少天修完?分析:水渠全长1千米，已修好412米，可用减法求出还剩多少米。用剩下的米数除以每天修的米数即是需要的天数，如果有余数，还需要加上1天才能确保修完。解答两步计算的应用题，可从已知条件入手，找到相关联的量，逐步顺推到题目所求的问题;各相关量的计算单位要统一;解决问题要联系生活实际，灵活处理。

914.有一位同学在做作业时，把除数30当成了3，结果得到的商是93，余数是1，那么正确的商和余数应该是多少呢?5.青青服装店要为购物中心加工200件工作服，已经加工了65件，还要几天才能完成加工任务?第75页“练习十三”第12题分析:解此类题要掌握有余数的除法算式中各部分之间的关系。左边题中，要求的是“被除数”，被除数=除数x商+余数，即40×6+28=268。右边题中，要求的是“除数”，除数=（被除数一余数）商，即（500-10）÷7=70。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.口算50÷10=90÷30=210÷30=490÷70=540÷60=480÷80=350÷50=720÷90=2.下面的括号里最大能填几?30×（）<10540×（）<12750×（）<29870×（）<44020×（）<16290×（）<5413.计算下面各题。72÷30=376÷90=650÷80=208÷60=190÷30=85÷40=630÷70=228÷50=174÷20=

92★提升能力题4.花店运回236枝玫瑰花，每30枝扎一束，可以扎成几束?还剩几枝？5.运煤队一次可运煤50吨，这些煤要运多少次？最后一次运多少吨？★探究创新题6.在□里填上适当的数。440÷□=6……□÷60=6……377.下面竖式中，方框中各应填什么数字，竖式才能成立？填一填。（2）商是一位数的笔算除法——用非整十除数课前自主学习引导星期天，王红和妈妈一起去超市购物，妈妈买了很多生活必需品，还给王红买了2箱牛奶。想到王红已经上四年级了，学习了一些简单的乘法、除法知识，王红的妈妈决定考考王红。小朋友，你会算吗?通过下面内容的学习，相信你一定能很快算出正确的结果。

931.掌握除数是非整十数，商是一位数的笔算除法的计算方法。2.学会用“四舍五入”法把除数看作整十数来试商，掌握调商的方法。3.通过试商培养思维的灵活性，在学习中感受数学与生活的密切联系。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:用“四舍”法把除数看作与它接近的整十数的试商方法1.当除数的个位数是4或比4小时，可以用“四舍”法把除数看成整十数来试商。2.被除数下面的积必须是商和除数相乘的积，而不是商和看成的那个整十数的积。3.用试得的商和除数相乘来检验商是否合适，如果余数比除数小，说明试得的商也是合适的。例3（第76页）（1）一个笔袋21元，84元可以买多少个？（2）一个台灯62元，430元可以买几个?还剩多少元？分析:（1）题中已知笔袋的单价和购买笔袋所花的总价，要求的是“数量”。根据“总价÷单价=数量”，此题列式为:84÷21。笔算时，用“四舍”法把除数21看作整十数“20”来试商，20×4=80<84，所以应商4，写在被除数个位的上面。（2）由题意可知，此题也应用除法计算，列式为：430÷62。列竖式计算时，把除数62看作整十数60来试商。60×7=420<430，初商7，但62×7=434>430，说明商7大了，应改商6。

94用“四舍”法试商，由于把除数看小了，商往往偏大。试商后必须将商与原来的除数相乘，如果乘积大于被除数，就说明初商偏大，应该把初商调小，知道余数小于除数为止。知识点二:用“五入”法把除数看作与它接近的整十数的试商方法1.当除数的个位数是5或比5大时，可以用“五入”法把除数看成与它最接近的整十数来试商。2.用“五入”法试商时，如果商和除数相乘的积比被除数小，且余数等于或大于除数，说明初商小了，要调大。例4（第77页）学校礼堂每排有28个座位，四年级共有197人，可以坐满几排?还剩几人?分析：求可以坐满几排，就是求197里面最多有几个28，用除法计算，列式为197÷28。试商时，把除数28用“五入”法看作与它最接近的整十数“30”来试商。除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。初商不一定准确，需要通过调大或调小来试商。

95知识点三:除数不接近整十数的试商方法除数不接近整十数的除法，如果按照“四舍五入”法，试商的次数比较多，可以根据不同的情况用不同的方法来试商。（1）三位数除以两位数（商是一位数）的除法中，若被除数、除数的首位数字相同，可以想10个除数是多少，再与被除数比较，此时可以用9或8来调商。（2）直接把除数看作与它接近的几十五，再利用一位数乘法直接确定商。例5（第81页）240÷26=分析:列竖式计算240÷26，试商时有以下几种方法：方法一:运用“五入”法把26看作30来试商。方法二：除数是26，被除数是240，想：10个26是260，比240多20，可以商9。方法三:把26看作25来试商。我们知道4个25是100，8个25是200，余下的40里面还有1个25，所以240里面最多有9个25，一次就能确定商9合适。除数接近几十五（个位上是4或6）的除法，既可以用“四舍五入”法试商，也可以把除数看作几十五，直接确定商的大小。1.计算下面各题。176÷32=295÷41=230÷29=88÷41=604÷73=580÷67=

962.很快说出下面各题应该商几。3.王大伯家买回200千克饲料。这些饲料可以喂多少天？还剩多少千克?能力点一:运用除法各部分的关系解决错中求解问题例1小马虎在计算有余数的除法时，把被除数137当成了173。分析:由于余数相同，错的商比正确的商大3，而除数没有变，所以173-137的差正好是除数的3倍，因而可以求出除数，即(173-137)÷3=12。所以这道除法算式是:137÷12=11……5。能力点二：运用综合法解决实际问题例2有218米布，做衣服用去49米，剩下的布要做床单和床罩。做一套床单和床罩共需17米布，一共可以做多少套床单和床罩？分析:由已知条件可知，应先求出剩下布料的米数，列式为：218-49，再用除法求出一共可以做多少套床单和床罩。如果有余数，因为剩下的不够做一套，那么余数要舍去。在日常生活中经常会遇到做床罩、窗帘、衣服等问题，当剩下的布不够做一套时，应舍去。

974.一个数除20600，小明做题时误把20600写成2600。5.一套小型的《百科全书》的价格是42元，王老师带了314元，买钢笔花了36元，剩下的钱可以买几套小型的《百科全书》?第82页“练习十五”第6题分析:题中要求的是从小红家到学校的这段路程，路程=速度x时间，小红的速度已知，所以应先找出小红所行走的时间。从图中可知，小乐从家到学校所行走的路程是520米，小乐的行走速度是65米/分，根据“路程÷速度=时间”可求出小乐所行走的时间。小红比小乐多走5分钟，故“小乐所行走的时间+5分钟”即是小红所行走的时间。解:520÷65+5=13(分）60×13=780（米）答:小红家离学校780米。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.（）里最大能填几60×（）<31050×（）<47020×（）<15080×（）<42070×（）<50030×（）<17050×（）<36090×（）<380

982.3.计算下面各题。309÷42=428÷84=198÷22=573÷76=625÷79=232÷24=4.下面是小武做俯卧撑的统计表。请将表格补充完整。月份2月（28天）3月（31天）4月（30天）总个数252个403个360个平均每天做的个数★提升能力题5.计算下面各题，你发现了什么？6.文宝商场开展文化体育用品优惠促售活动。王老师带300元钱，最多可以买这种球★探究创新题7.在下面的算式中，要使被除数最小，方框中应填几？□÷□=9……18

99（3）商是两位数的笔算除法课前自主学习引导兔爸爸和兔妈妈带了一群兔宝宝去森林里采蘑菇。回家以后，兔爸爸数了数，一共采回了234朵蘑菇。兔妈妈想考考兔哥哥皮皮，问道:“把这些蘑菇平均分给你们14个兔宝宝，你算算看，每个兔宝宝能分到多少朵呢?”在兔妈妈的帮助下，兔哥哥皮皮很快得出了答案。我们一起去看看它是怎样计算的吧！1.在理解和掌握商是一位数的笔算除法的基础上，掌握商是两位数的除法的笔算方法。2.在理解算理的基础上，能正确运用法则计算。3.培养归纳、比较和综合概括的能力。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:商是两位数的除法的笔算方法商是两位数的除法的笔算方法:（1）从被除数的高位除起，先用除数除被除数的前两位数，再除第三位。（2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。（3）每求出一位商，余下的数必须比除数小。例6（第83页）学校共有612名学生，每18人组成一个环保小组。可以组成多少组？

100分析:要求可以组成多少组，实际是求612里面有多少个18，用除法计算，列式为:612÷18。列竖式计算时，除数18是两位数，先用18去试除被除数的前两位数。用除数除被除数的前两位所得的余数要和被除数下一位（被除数是三位数时即个位）组成一个新的数，再用除数除这个数。知识点二:商是两位数的除法中个位商0的除法的笔算方法若被除数的末尾是0，且第一次商后的余数不够再除，直接在个位上商0占位。例7（第83页）940÷31=分析:如果被除数是930，则有：

101知识点三:除数是两位数的除法与除数是一位数的除法的异同相同点:（1）都是从被除数的高位除起;（2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商;（3）每求出一位商，余下的数必须比除数小。不同点：除数是一位数的除法，先试除被除数的前一位数，如果它比除数小，再试除前两位数；除数是两位数的除法，先试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除被除数的前三位数。1.计算下面各题，说一说上下两组题有什么区别。2.计算下面各题，并且验算。465÷23840÷28532÷193.小力22分钟写了682个字，小军20分钟写了640个字，他们谁写字的速度更快一些?

102能力点一:运用推理法解决除法竖式谜问题例1在□里填上合适的数字，使算式成立。分析:观察算式中已给出的数字，发现除数个位上是7，□7乘商的十位数字得□1，那么商的十位数字只能是3。十位上商3后，余10，与个位上的9合起来是109，□7除109，余数是1，说明7乘商的个位数字得109－1=108，所以商的个位数字只能是4。□7×4=108，得出除数□7的十位数字是2。除数确定了，商也确定了，其余方框就容易填写了。能力点二:运用除法解决倍数问题例2两个数的和是616，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，就与另一个加数相同，这两个数分别是多少?分析:由“一个加数的个位是0，若把0去掉，就与另一个加数相同”可知，其中一个加数是另一个加数的10倍，那么它们的和就是另一个加数的（10+1）倍。即另一个加数的11倍是616，求另一个加数列式为:616÷（10+1）。再根据另一个加数求出其中的一个加数。1.解答此类题的关键是找题中的隐含条件，即一个加数是另一个加数的10倍。2.已知两数之和与倍数关系，则有:两数和（倍数+1）=较小数，较小数×倍数=较大数。

1034.在方框里填入合适的数字，使算式成立。5.两个数的和是987，其中一个加数的个位是0，若把0去掉，则是另一个加数的两倍，这两个数分别是多少?第86页“练习十六”第13题分析:这道题需要分两步计算解决，要求“平均每组有多少名少先队员”，有两种方法:方法一:先求出平均每队有多少名少先队员，再求出平均每组有多少名少先队员，用连除法计算。方法二:先用乘法求出5队一共有多少组，再用除法求出每组有多少名少先队员。课后巩固拓展探究★夯实基础题1.不用竖式计算，判断下面各题中商是几位数。

1042.下面的计算对吗？把不对的改正过来。3.先说出每道题的商是几位数，再在□里填上商。4.欣欣水果店购进一批水果，请你把下表填写完整。箱数18箱13箱11箱12箱水果总重量576千克455千克308千克480千克每箱水果重量★提升能力题5.按要求在□里填上适当的数字。（1）商是两位数。（2）商是一位数。□85÷47□06÷72□92÷33□50÷696.聚奎门学校326名同学参加“我爱母亲河”的环保行动，每14人分成一组，一共可以分成几个这样的小组?还多几人?7.春天到了，李老师带领四年级3个班的同学去郊外植树，每个班分成6个小组，一共植树414棵。平均每个小组植树多少棵?

1058.明明家到学校的距离是1400米，他已经走了532米，还要多少分钟才能到学校?★探究创新题9.在方框中填上合适的数字，使竖式成立。（4）商的变化规律课前自助学习引导花果山风景秀丽，鸟语花香。桃树下一群小猴正等着猴王来分桃子。猴王对小猴说:“每2只小猴分8个桃。”小猴说:“不够，不够。”猴王说:“好吧！给你们80个桃，20只小猴分着吃吧！”小猴们却得寸进尺，想要更多的桃子。小猴们高兴地齐声欢呼:“大王万岁！”这时，猴王却偷偷笑了。小朋友，你知道猴王为什么偷笑吗?学习了“商的变化规律”，你就明白啦！1.难过观察比较，理解并掌握商的变化规律，并能运用这些规律进行简便计算。2.培养初步的抽象、概括能力以及用数学语言表达数学结论的能力。

106（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:商随被除数或除数变化的规律除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数除以几，商也除以几。被除数不变，除数乘几，商反而除以几；除数除以几，商反而乘几。例8（第87页）计算下面两组题，你能发现什么？从下往上观察，你又能发现什么？分析:先观察第（1）题中的算式再观察第（2）题中的算式：

107知识点二:商不变的规律被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。（3）计算并观察下面的题。你发现了什么规律？分析:从上往下观察:从下往上观察:举例验证:12÷2=6，120÷20=6，1200÷200=6。经验证发现上面的规律是正确的。知识点三:运用商的变化规律进行简便计算1.被除数和除数末尾都有0的除法，可以运用商不变的规律，把被除数和除数同时除以10、100…后，再算出商。2.有些特殊的除法算式，可以根据被除数和除数的特点，灵活运用商不变的规律将除数转化为整十数，从而使计算简便。例9（第88页）（1）780÷30=（2）120÷15= 分析:（1）780÷30，除数是两位数，可以按除数是两位数的除法的计算方法进行计算。也可以根据商不变的规律，把被除数和除数末尾的0同时去掉，即被除数和除数同时除以10，商不变。这样就转化为除数是一位数的除法。

108（2）算式中的被除数是120，是几百几十数，除数是15，我们知道：15×2=30，15×4=60，可以根据商不变的规律，将被除数和除数同时乘2或同时乘4，转化为除数是整十数的除法，口算就能得出商。运用笔算除法的一般方法计算，当数据较大时比较麻烦；运用商不变的规律进行笔算，可以使计算更简便。知识点四:运用商不变的规律进行有余数除法的简便计算。运用商不变的规律计算被除数和除数末尾都有0的除法会更简便。除数和被除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变，但余数会发生变化，去掉几个0，余数就要加上几个0。例10(第88页）840÷50= 分析:观察发现，被除数和除数的末尾都有0，可以应用商不变的规律，把被除数和除数同时除以10，转化为84÷5来计算。也可以根据有余数除法中各部分之间的关系来验证:16×50=80，840－800=40，所以余数应是40。运用商不变的规律计算有余数的除法时，一定要记住被除数末尾划去几个0，余数的末尾就应添上相同个数的0。要注意这种简便算法只适用于被除数和除数末尾均有0的除法算式。

1091.根据每组题中第1题的商，写出后面三题的商。36÷12＝48÷2＝18÷2＝360÷12＝48÷4＝180÷20＝3600÷12＝48÷8＝360÷40＝36000÷12＝48÷16＝3600÷400＝2.在（）里填上适当的数，使计算简便。150÷25＝210÷35＝240÷16＝↓×()↓×4↓×()↓×2↓÷()↓÷8÷100÷÷ 3.用你喜欢的方法列竖式计算。930÷30960÷40810÷45190÷38能力点一:运用商不变的规律解决简便计算问题例1根据4800÷60=80直接写出下面各式的结果。（1）（4800÷2）÷（60×2)（2）（4800×2）÷（60÷2)分析:（1）与4800÷60=80相比，被除数除以2，除数乘2，如果除数不变，被除数除以2，商也要除以2;如果被除数不变，除数乘2时，商就会除以2。这样，这道算式与原来相比，商就会除以（2×2），即商除以4。（2）与原式相比，被除数乘2，除数除以2。如果除数不变，当被除数乘2时，商也会乘2;如果被除数不变，当除数除以2时，商就要乘2，这样这道算式的商就应乘（2×2），即商乘4。在除法里，被除数乘(或除以)m，除数除以(或乘)n时，商就乘(或除以)。

110能力点二:运用举例法解决余数问题例2两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，商是多少?余数是多少?你能发现什么?分析:由于本题只给了商和余数，对被除数和除数没有要求，所以我们可以任意举一个商是8，余数是5的算式来进行验证。因为余数要比除数小，所以，如果设除数是6，则算式为53÷6=8…5；如果设除数是9，则算式为77÷9=8…5。将两式的被除数和除数分别扩大到原来的3倍，得（53×3）÷(6×3)=159÷18=8……15，（77×3)÷(9×3)=231÷27=8……15。由被除数和除数分别扩大到原来的3倍后的算式可以发现：商没有变，仍是8，但余数由5变成15，即扩大到原来的3倍。4.根据1800÷60=30直接写出下面各题的商。（1）（1800×3）÷（60×3）=（2）（1800÷3）÷（60×2）=（3）（1800×2）÷（60÷3）=（4）（1800÷5）÷（60÷5）=5.两个双数相除，商是3，余数是20，如果被除数和除数同时除以2，商是多少?余数是多少？你能发现什么？课后巩固拓展探究★夯实基础题1.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）48÷12=（48×5）÷（12×5）（）（2）45÷15=（45×3）÷（15×4）（）（3）80÷16=（80×4）÷（16÷4）（）（4）75÷25=（75÷5）÷（25÷5）（）

1112.你能直接写出下面各题的得数吗？2400÷400=1800÷600=5600÷800=4000÷500=3200÷400=2100÷700=5400÷900=7200÷800=3000÷600=3.将正确的余数填在□里。（1）750÷40=18……□（2）880÷60=14……□（3）2700÷500=5……□（4）4300÷600=7……□4.算一算，下列物品分别可以买几个？从中你发现什么？可以买个可以买个可以买个★提升能力题5.找出下列算式的规律，在里填上合适的数。111÷3=37444÷□＝37□÷21=37222÷6=37555÷□=37□÷24=37333÷9=37666÷□=37□÷□＝376.用你喜欢的方法计算。480÷32162÷（2×9）490÷7÷5198÷3÷6★探究创新题7.根据240÷80=3填空。（1）（240○□）÷80=6（2）240÷（○□）=6（3）(240÷4）÷（8○□）=3（4）（240×2）÷(80○□)=3

1128.两个数相除，商9余4，如果被除数和除数都扩大到原来的3倍，那么被除数、除数、商、余数的和等于333，则被除数、除数分别是多少？1.有253千克石油，每50千克装一桶，这些石油都装完需要多少个桶？2.纠错。（4）380÷60，根据商不变的规律可以看成38÷6，所以380÷60=6……2。

113（六）数的整除性有时候，只要利用可能被整除的数的特征，就能判断一个数是否能被另一个数整除，而且这种判断方法既简捷又准确，具有广泛的应用价值。这一讲，我们就一起来探究一些数的整除特征。（1）能被2、5整除的数的特征是：这个数的末一位数字能分别被2、5整除。（2）能被3、9整除的数的特征是：这个数的各位上的数字之和能分别被3、9整除。（3）能被4、25整除的数的特征是：这个数的末两位数能分别被4、25整除。（4）能被8、125整除的数的特征是：这个数的末三位数能分别被8、125整除。例1自然数能被11整除，求这个自然数。分析：因为11能整除11、99、1001、9999…….即11能整除（10+1)，11能整除（100-1），11能整除（1000+1），11能整除（10000-1），11能整除（100000+1)，11能整除（1000000-1)……任何一个零除外的整数，都可以写成若千个一与若干个十、若干个百、若千个千……相加的形式。如523413，可以写成:523413=5×100000+2×10000+3×1000+4×100+1×10+3=（5×100001-5）+（2×9999+2）+（3×1001-3）+（4×99+4）+（1×11-1）+3=5×100001+2×9999+3×1001+4×99+1×11+(2+4+3-5-3-1)=（5×9091+2×909+3×91+4×9+1)×11+[(2+4+3)-(5+3+1)]如果11能整除[（2+4+3）-（5+3+1）]，则11就能整除523413，而[（2+4+3）-

114（5+3+1)]恰好是523413的奇数位上的数的和与偶数位上的数的和的差。由此可以总结出能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数的和与偶数位上的数的和的差能被11整除。例2判断2206525321能否被7、11、13整除。分析:因为7×11×13=1001，所以1001能被7、11、13整除。任何一个整数如725582可以写成:725582=725×1000+582=725×（1000+1）-725+582=725×1001-（725-582）。如果（725-582）能被7、11、13整除，则725582就能被7、11、13整除，这里（725-582）恰好是725582的末三位数以前的数字与它的末三位数所组成的数的差。由此可以总结出能被7、11、13整除的数的特征是：这个数的末三位数以前的数字组成的数与末三位数组成的数的差能分别被7、11、13整除。当末三位数字所表示的数大于末三位以前的数字所表示的数时，就用前者减去后者，然后进行判断。如443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是:因为716－443=273，273能被7整除，所以443716能被7整除;因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除;因为273能被13整除，所以443716能被13整除。1.下列各数哪些能被11整除?52019688688102091383802.从1~9这九个数中选出五个不同的数字组成一个五位数，要求它能被3、5、7、11整除，这个数最大是几？

1157条形统计图课前自主学习引导森林小学四年级的同学们正在进行课外活动比赛，比赛的项目有跳绳、踢毯子和打乒乓球。叮当把参加各项比赛的人数绘制成了如下所示的统计图。可是胖胖看后，不明白是什么意思。聪明的小朋友，你知道这是什么统计图吗？从图中你能得到哪些信息呢?带着这些问题一起进入今天的学习吧！1.通过实例，认识条形统计图，并会绘制简单的条形统计图。2.能根据条形统计图提出并回答简单问题，能发现数学信息并能进行简单的数据分析。3.经历简单的统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，培养实践操作能力，发展统计意识。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:了解表示数据的不同方式，认识条形统计图1.条形统计图的概念:用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画出长短不同的直条，并且按一定的顺序排列起来，这样的统计图叫做条形统计图，也叫直条图或条形图。2.条形统计图的特点:条形统计图能形象、直观地表示数量的多少，并易于比较数据的大小。

116例1（第94页）（1）这个月的每种天气各有多少天？你能把它们清楚地表示出来吗?（2）条形图和统计表各有什么特点，你能得到哪些信息?分析:（1）图中出示的是一张2012年8月北京市天气情况的记录单，要想清楚地表示出这个月每种天气各有多少天，可以对数据进行整理。先用画“正”字的方法数出每种天气的天数，再用统计表或统计图来表示。用圆圈图表示时，先画出一条横线，在横线下方依次标注天气，然后在横线上方的对应位置画出圆圈，每种天气有几天就画出几个圆圈。用条形图表示时，在横轴上表示天气，在纵轴上表示天数，用1格代表1天。（2）条形图比圆圈图表示得更清楚，因为在圆圈图中需数出圆圈的个数才知道对应的天数，而条形图中可直接看出各种天气的天数。（2）统计表可以清楚地表示每种天气各有多少天，条形图不仅可以清楚地表示各种天气的天数，还能根据直条的长短比较每种天气的天数的多少。条形图比统计表更直观、更形象。

117知识点二:根据具体情况确定条形图甲1俗代衣儿于统计对象条形图中1格可以表示1个或2个单位，如果要表示的数量较大时，还可以用1格表示5个单位;如果要表示的数量更大时，甚至可以用1格表示10个单位、100个单位、1000个单位……1格表示几，要根据具体情况来确定。例2（第96页）下面是四（1）班同学最喜欢的一种早餐（不包括主食）统计表。最喜欢的早餐奶牛豆浆粥人数61224（1）两个图的每格分别代表几人？（2）最喜欢（）的人数最多。（3）你认为用哪个图表示这里的数据比较合适？为什么？（4）如果最喜欢牛奶的是5人，在右图中怎样表示?分析:（1）仔细观察两幅图，左图中纵轴上的数依次是0、1、2、3…，右图中纵轴上的数依次是0、2、4、6……，所以左图中1格代表1人，右图中1格代表2人。（2）根据表中的数据在两幅图中完成各个直条，可发现表示“粥”的直条最长，即最喜欢粥的人数最多。（3）表中的数据较大，最大的数是24，如果用1格代表1人涂色时比较麻烦，用1格代表2人比较合适。即要表示的数据较小时，用1格代表1个单位合适；要表示的数据较大时，用1格代表2个单位更合适。（4）右图中1格代表2人，2格代表4人，如果最喜欢喝牛奶的是5人，那还有1人可以用半格表示，即用2格半表示5人。

118知识点三：认识1格代表多个单位的条形图绘制条形图时，若统计数据之间的差异比较大，并且各数据都是某个数的倍数时，用1格代表多个单位（各数据的最大公因数）画出直条，既能直观地反映数据之间的这种差异，又能使图形看起来美观、简洁。例3（第98页）这是几个同学在一个路口统计了20分钟后，得到的几种机动车通过的辆数统计表。机动车轿车面包车客车货车辆数50302510（1）每格代表（）辆车。（2）什么情况下用1格代表5辆车比较合适？

119（3）如果统计结果是下面这样，每格代表几合适?机动车轿车面包车客车货车辆数60304010分析：表中统计了几种机动车通过的辆数，观察发现，表中最小的数据是10，最大的数据是50，如果用1格代表2辆车，50辆轿车要画25格，太麻烦了。而且表中的各数都是5的倍数，所以用1格代表5辆车比较合适。第（3）题中各数都是整十数，最小的是10，最大的是60，1格代表5辆车，画时也很麻烦，所以用1格代表10辆车更合适。1.明明调查了全班同学最喜欢吃的水果情况，如下表所示：品种人数1198512把上面的数据在下面用条形图表示出来。（1）全班共有（）人，喜欢吃（）的人最多。（2）喜欢吃苹果的比喜欢吃香蕉的少（）人。

1202.下面是四（2）班同学最喜欢参加的体育运动项目。女生:四（2）班同学最喜欢参加的体育运动项目统计表运动项目跑步打篮球跳绳滑冰人数6253全班:运动项目跑步打篮球跳绳滑冰人数10201015把统计的结果分别在下面用条形图表示出来。（1）左图每格代表（）人，右图每格代表（）人。（2）从图中你能得到什么信息？能力点:运用分析法解决条形统计图问题例下面是白云小学学生食堂调查的学生爱吃的蔬菜的情况统计图。

121（1）每格代表几人?（2）根据这个统计图你能提出哪些问题？（3）你从图中了解了哪些信息？（4）你对学校食堂有何建议？分析:仔细观察图中纵轴上的数据，从0开始，依次是50、100、150……所以图中1格代表50人。再观察直条的长度，发现爱吃白菜和芹菜的同学少，爱吃番茄和黄瓜的同学多。可根据学生爱吃各种蔬菜的人数情况提一些相关的问题，并对学校食堂提出合理化建议。读懂条形图必须运用横向、纵向、综合、对比等不同方法进行观察、比较，还要善于从图中获取信息，得到启示，然后再根据图中的数据提出相关的问题。3.小明调查了春节期间全家一个月所喝饮料的易拉罐数量，如下图：（1）图中一格表示（）个，第二周用了（）个易拉罐。（2）大约7个易拉罐可以提炼100克铝，如果将小明全家在春节期间所喝饮料的易拉罐全部回收，这些易拉罐一共可提炼多少克铝？

122（3）对于易拉罐等废弃物品的处理，你有什么想法?课后巩固拓展探究★夯实基础题1.调查本班每一位同学最喜欢什么颜色，并将统计数据用下面的条形图表示出来。（1）参加此次调查的同学一共有（）人。（2）最喜欢（）色的人数最多，最喜欢（）色的人数最少。（3）你还能提出什么问题？2.观察统计图，并回答问题。少儿图书馆一天图书借阅情况统计图（1）1格代表本书。

123（2）借出的动漫类图书是工具类图书的多少倍？（3）你还获得了哪些信息？3.下面是四（3）班同学最喜欢的动物情况统计表。最喜欢的动物人数8161019（1）把上面的统计表制成下列条形图。（2）最喜欢（）的人数最多。（3）你能在下面用条形图把上面的数据表示出来吗?

124★提升能力题4.下面是金华小学的同学向贫困山区学生捐赠图书的情况统计表。四（1）班:类别故事书历史书科技书工具书本数4020155四年级:类别故事书历史书科技书工具书本数90604030把统计的结果分别在下面用条形图表示出来四（1）班同学捐赠图书统计图四年级同学捐赠图书统计图（1）左图中每格代表（）本，右图中每格代表（）本。（2）从上图中你获得了哪些信息？5.下面是乐乐超市七月份各种饮料的销售情况。种类矿泉水冰红茶可乐橙汁数量/瓶1300800400600根据统计表完成下面的条形图，并回答问题。（1）七月份（）的销售情况最好。

125（2）如果超市老板要买进一批饮料，你有什么好的建议？★探究创新题6.四年级各班同学11月份综合等级评定情况如下：班级人数等级优良中差四（1）班1820103四（2）班231662四（3）班2022124四（4）班162581选择某一等级将各班人数在下图中表示出来。从你制作的条形图中你能获得什么信息？指出下面统计图中的错误并改正。光明小学三、四、五年级植树情况统计图

126（七）对应推理人们常说:“数学是思维的体操”，这主要是因为解数学题时，除了演算还要进行推理，也就是说，要善于根据已经知道的一些事实，推断出某些结果。推理问题有许多种，今天要向大家介绍对应推理，所谓对应，就是将职业、姓名、年龄、爱好等对应起来。例1蓝先生、白先生、黄先生的衬衣和领带分别是蓝色、白色和黄色中的一种颜色，且衬衣和领带的颜色不相同。可是，他们不穿与自己姓氏相同的衬衣，也不系和自己姓氏相同的领带（指颜色）。已知蓝先生系的领带与黄先生穿的衬衣是同一颜色的，你能说出他们的衬衣和领带的颜色吗?分析:蓝、白、黄三位先生的衬衣和领带的颜色不与|自己的姓氏（指颜色）相同，这就是说蓝先生不穿蓝衬衣也不系蓝领带，白、黄两位先生也是如此。但现在已知蓝先生系的领带与黄先生穿的衬衣是同一颜色的，我们可以想到:蓝先生的领带既不是蓝色的，也不是黄色的，那么一定是白色的，同时蓝先生的衬衣一定不是蓝色的。由此还可以得到黄先生的衬衣是白色的，领带是蓝色的，白先生的衬衣是蓝色的，领带是黄色的。例2住在同一宿舍的A、B、C、D四名女大学生，分别来自北京、上海、广州、武汉.已知:（1）A不是北京人，也不是武汉人。（2）B不是北京人，也不是广州人。

127（3）如果A不是广州人，那么C不是北京人。（4）D不是武汉人，也不是北京人。问她们各来自哪里？分析与解:根据（1）、（2）、（4）这三个条件，可得:北京上海广州武汉A××B××CD××这样可以看出，只有C来自北京，并且由条件（3）知道，既然C来自北京，那么A一定来自广州，得下表：北京上海广州武汉A××√×B×××√C√×××D×√××从表中看出：A来自广州，B来自武汉，C来自北京，D来自上海。1.有三个小伙子，他们分别姓牛、马、龙，凑巧他们三人的属相也是牛、马、龙。属龙的人说:“我们每个人的属相都跟自己的姓不同。”姓牛的小伙子表示赞同，他说:“对！我姓牛就不属牛。”你能说出这三个人的姓和他们各自的属相吗?2.如图，有A、B、C、D、E、F六个人，坐在一张圆桌周围六个位置。已知E和C相隔一人坐在C的右边，D坐在A的对面，B与F相隔一人坐在F的右边，F与A不相邻。假设C坐在①号位上，那么A、B、D、E、F各坐在哪一个位置?

1288数学广角——优化课前自主学习引导小晶上六年级了，她早上起床到上学前要做好多事情如下表：事情时间/分钟事情时间/分钟穿衣叠被5听广播30刷牙洗脸5吃早饭10读外语20收碗抹桌5室内锻炼5整理书包2如果小晶早上6点起床，7点要从家出发，她一小时能完成这些事吗?学习了“数学广角一优化”的知识，并学会做一个合理安排时间的人，这个问题就难不倒你啦！1.通过沏茶问题、烙饼问题等简单的事例，初步体会统筹思想在解决实际问题中的应用；通过“田忌赛马”的故事体会策略在实践中的应用。2.认识到解决问题策略的多样性，培养寻找解决问题最优方案的意识。3.初步培养应用数学知识解决实际问题的能力，养成合理安排时间的良好习惯。（见活页部分）课堂精讲精练强化知识点一:沏茶问题解决合理安排时间的问题需要按以下的步骤进行：（1）思考完成一项工作要做哪些事情；（2）分析每项事情各需要多少时间；（3）合理安排工作的顺序，明白先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做。例1(第104页）怎样安排比较合理并且省时间?

129分析:从图中可知，小明共需做6件事:烧水、洗水壶、洗茶杯、接水、找茶叶、沟茶。要想让客人尽快喝上茶，能同时做的事尽量同时去做。要沟茶首先必须先烧水，而烧水前必须做的事是洗水壶和接水；等水开的时间是8分钟，在等待水开的时间里可以完成洗茶杯和找茶叶这两件事；水开后就可以湖茶了。合理安排做事的顺序，明确先做什么，后做什么，哪些事情可以同时做，将能同时做的事情同时做，可以节省做事的时间。知识点二:烙饼问题无论烙多少张饼，只要保证每次都在锅中放两张饼，就能最节省时间。如果烙饼的张数是双数，两张两张地烙就可以了；如果烙饼的张数是单数，可以先两张两张地烙，最后3张按“烙3张饼”的最优方案去烙，最节省时间。例2（第105页）（1）怎样才能尽快吃上饼?分析:由图可知，妈妈总共需烙3张饼。因为锅里每次能烙两张饼，所以较快的方法有两种。第一种方法是先烙2张，再烙1张；第二种方法是争取让锅中每次烙两张饼，先烙1、2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2、3号饼的反面。分别计两种方法所需的时间，比较即可得出结果。

130（2）如果要烙4张饼、5张饼、6张.…呢?你发现了什么?分析:烙一张饼需烙两面，而烙一面需3分钟，要烙4张饼，可两张两张地烙，故共需3×2×2=12（分钟），即6×2=4×3=12（分钟）；烙5张饼时，可先烙两张，剩下的3张按“烙3张饼”的最优方案进行，则共需6+9=15(分钟），即5×3=15（分钟）；烙6张饼又可两张两张地烙，故共需6×3=18（分钟）……由此可知，当每次只能烙两张饼时，烙饼所需最短时间=烙饼张数x烙每面所需时间（烙一张除外）。知识点三:比赛中的对策论问题1.解决同一个问题可以有不同的策略，要学会寻找解决问题的最优方案。2.在与对方进行比赛时，要详细地分析自己与对方的情况，反复研究各种对策，在所有可能采取的策略中，选择一个利多弊少的最优策略，从而使劣势变为优势，最终取得胜利。例3(第106页）（1）小朋友，你听过“田忌赛马”的故事吗?田忌是怎样赢了齐王的?

131齐王田忌本场胜者第一场上等马第二场中等马第三场下等马（2）分析:“田忌赛马”的故事很多同学都听过，田忌和齐王赛马，虽然齐王每个等级的的马都比田忌的强，但是田忌通过巧妙的安排，让自己赢得了最终的胜利。把田忌所有可以采用的策略通过表格呈现出来，如下表:第一场第二场第三场获胜方齐王上等马中等马下等马田忌1上等马中等马下等马齐王田忌2上等马下等马中等马齐王田忌3中等马上等马下等马齐王田忌4中等马下等马上等马齐王田忌5下等马上等马中等马田忌田忌6下等马中等马上等马齐王观察上表发现，田忌可以采用的策略共有6种，但只有一种策略能赢齐王。解:（1）齐王田忌本场胜者第一场上等马下等马齐王第二场中等马上等马田忌第三场下等马中等马田忌通过上表观察到田忌不是用同等级的马去与齐王比赛，而是用下等马对齐王的上等马，用上等马对齐王的中等马，用中等马对齐王的下等马。第一场虽然输了，但后两场因为自己的马都要强于对方的马，所以赢了两场，最终赢了齐王。（2）田忌所用的这种策略是唯一能赢齐王的方法。

1321.妈妈杀好鱼后，张刚帮助妈妈烧鱼。他有条有理地洗鱼、切鱼、切姜片、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（见下图）。你能不能巧妙合理地设计一个新的工序帮张刚少花些时间？用方框图画出来。2.一个平底锅上每次只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要8分钟（正、反两面各4分钟），那么煎三条鱼至少需要几分钟?3.这是一场拍球比赛，三局两胜，请看参加比赛双方的资料：甲方1分钟拍球个数:1号20个2号40个3号60个乙方1分钟拍球个数:1号10个2号30个3号50个请问乙方队员怎样对阵才能赢甲方。能力点一:运用列表法解决分物体问题例1妮妮想把12个苹果分成数量不相等的4堆，最多的一堆最多有多少个苹果?分析：把12个苹果分成不相等的4堆，分法如下表：堆数1234没堆分的个数12361245

133从表中可以看出，要使最多的一堆苹果的个数尽量地多，那么其余三堆的个数就应尽量减少，且每堆的个数不相等，所以其余三堆只能分1个2个、3个。把一个数分成几个不相同的数，求最大的数是几，应尽量使其余的数尽可能地小，则剩下的一个数才最大。能力点二:运用最优化法解决实际问题例2牧童二小骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河要2分钟，乙牛过河要3分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要7分钟。每次只能骑一头牛再赶一头牛过河，把4头牛都赶到对岸，最少要几分钟？分析:要使时间最少，应抓住以下两点：①同时过河的两头牛相差时间尽可能少些，才能使花时间少的牛在过河时少浪费时间。②过河后应骑时间少的那头牛回来。因此赶牛的顺序是:牧童二小先骑甲牛赶乙牛一起过河，再骑甲牛回来，需要3+2=5（分钟）;然后骑甲牛赶丁牛过河，再骑甲牛回来，需要7+2=9（分钟）;最后骑甲牛赶丙牛过河，不再回来，共需3分钟。求最少时间问题时，要善于分析，尽可能地节省时间、人力和物力，找出最佳方案去解决。4.要把18枚棋子分成数量不相等的5堆，最多的一堆中最多有几枚棋子?

1345.爸爸烙馅饼，每一张馅饼第一面要烙2分钟，烙第二面时，由于第二面已经比较干了，只要烙1分钟就熟了。家里的平底锅一次只能烙两张饼，一共烙了15张饼，爸爸最少要烙多长时间?课后巩固拓展探究★夯实基础题1.用一只平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个饼要2分钟（正、反面各要1分钟）。煎三个饼至少要几分钟？煎五个呢？2.四年级的小敏同学每天起床后要做的事情有：穿衣（3分钟），整理床铺（2分钟），洗脸梳头（8分钟），上厕所（5分钟），煮粥（20分钟），吃早饭（10分钟），完成这些事情需48分钟，你认为最合理的安排需要多少分钟？3.四年级举行1分钟跳绳比赛，每班派三名选手参加。下面是四（1）班与四（2）班选手的平时成绩：四（1）班四（2）班王芳128下/分张艳130下/分李欣132下/分徐娜135下/分赵芬142下/分陈阳144下/分

135按规定，团体成绩采用三场两胜制定胜负。四（1）班能取胜吗？怎样合理安排才能取胜?★提升能力题4.中午，爸爸做炒鸡蛋这道菜，要做的事情及时间是：敲蛋10秒，切葱花20秒，搅蛋20秒，洗锅30秒，烧热油1分钟，炒蛋3分钟，装盘10秒。爸爸最少要用多长时间才能把鸡蛋炒好?5.煮熟一个鸡蛋需要6分钟，一口锅一次最多能煮10个鸡蛋。煮10个鸡蛋至少用多少分钟？煮15个呢？6.要使三艘货船的等候时间的总和最少，应该按怎样的顺序卸货？

136★探究创新题7.有60粒珠子，两人轮流从中取，每次至少取1粒，最多取4粒。（1）谁取到最后一粒谁就胜，你认为有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？（2）谁取到最后一粒谁就输，你认为有必胜的策略吗？怎样取才能获胜?8.有7个满杯水，7个半杯水和7个空杯。你能把这些杯子平均分给3个人，使得每个人有7个杯子，且每个人杯子中水的总量都是3杯半吗?1.妈妈每天早上都要为全家人磨豆浆，她需要做三件事：一是把豆子洗干净，二是洗5个杯子，三是磨豆浆。已知洗豆子要1分钟，洗1个杯子要2分钟，磨豆浆要14分钟。全家喝到豆浆最快要多少分钟？2.妈妈每天早上为小华做烤面包片，每片面包片的第一面要烤2分钟，烤第二面时，由于第二面已经比较干，只要烤1分钟就熟了。妈妈的烤面包架一次只能烤两片面包。小华每天要吃三片面包，妈妈最少要烤多长时间?

137（八）合理安排客人到你家里做客，你给客人湖茶前，有一系列的事情要做，如果你手忙脚乱，一定会浪费许多时间，而如果你能很快地把这些事情安排一下，你就会节省一定的时间，让客人尽早地喝到你沏的香茶。这实际上是最优化问题，也是被华罗庚爷爷称作“统筹规划”的问题。它在生产、科学研究及日常生活中都有广泛的应用。作为小学生，接触一些简单的统筹问题，了解一些最优化的思想是十分有益的。例1一条公路旁四家工厂的职工宿舍位置如下图所示，现在要在这段路线上设立一个公共汽车站，问这个站设在哪里，可以使几家工厂的职工乘车都方便?分析:思考这类问题时，一般依据的原则是:（1）支线向干线靠拢;（2)两端向中间靠拢;（3）少（小）处向多（大）处靠拢。

138例2某车队大卡车的载重量是8吨，耗油量是16千克，小卡车的载重量是2吨，耗油量是5千克。要运货110吨，问需多少辆大卡车及多少辆小卡车来运才能使耗油量最少？分析：用大卡车运输每吨货物耗油16÷8=2(千克），用小卡车运输每吨货物耗油5÷2=2.5（千克），可见大卡车的耗油量少一些，所以应尽可能的用大卡车运，剩下的在大卡车与小卡车中比较。110÷8=13（辆）……6（吨），剩下的6吨若用一辆大卡车运，耗油16千克；若用三辆小卡车运，耗油5×3=15（千克），所以应该用13辆大卡车和3辆小卡车来运耗油量最少。1.三个旅游团同时去旅游，分别有84、97、58人，要求其中一个旅游团乘大巴车，一个乘中巴车，另一个乘小巴车。已知小、中、大巴车分别能容纳12人、14人、17人，每种车每辆收费分别为75元、85元、100元。那么这三个旅游团至少一共要花多少车费？2.有82吨黄沙从江边运到工地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，一辆大、小卡车的耗油量分别是10升和6升。用大、小卡车各多少辆来运，才能使总耗油量最少?3.修路队要安装一条31米长的自来水管，现有3米和5米长的两种规格的水管，已知3米长的水管每根32元，5米长的水管每根50元。安装完这条水管至少要用多少元？

1399总复习1.数与代数单元内容知识要点大数的认识1.含有两级的数的读法（1）先读万级，再读个级;（2）万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字;（3）每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。2.含有两级的数的写法（1）先写万级，再写个级;（2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。3.比较两个数的大小的方法（1）先看位数，位数多的数就大;（2）位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。4.十进制计数法个（一）、十、百、千、万……亿、十亿、百亿、千亿都是计数单位，每相邻两个计数单位间的进率都是十的计数方法叫十进制计数法。5.亿以上数的读法（1）先分级，再从最高级读起;（2）亿级或万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上“亿”字或“万”字;（3）每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0。6.亿以上数的写法（1）先看这个数有几级，再从最高级写起;（2）哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。7.计算工具的认识和使用常用的计算工具有算盘和计算器，算盘的1颗上珠表示5，1颗下珠表示1。了解计算器中常用键的功能，能用计算器计算并探索规律。三位数承两位数1.三位数乘两位数的笔算方法先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和个位对齐;再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和十位对齐;最后把两次乘得的积加起来。2.因数末尾有0的乘法的简算先把0前面的数相乘，然后看两个因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添写几个0。

140单元内容知识要点三位数乘两位数3.积的变化规律一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。4.两种常见的数量关系（1）每件商品的价钱，叫单价;买了多少，叫数量;一共用的钱数，叫总价。它们之间的关系为:单价×数量=总价。（2）一共行了多长的路，叫路程;每小时（或每分钟等）行的路程，叫速度;行了几小时（或几分钟等），叫时间。它们之间的关系为:速度×时间=路程。除数是两位数的除法1.整十数除整十数、整十数除几百几十数的口算方法有两种:一种是用表内除法计算;另一种是根据乘除法的关系想乘法算除法。2.除数是两位数的除法估算被除数或除数是接近几百几十的数或整十数，要用“四舍五入”法把它们看作接近它们的几百几十的数或整十数来估算。3.除数是两位数的除法的试商方法一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商;有些除法题，按“四舍五入”法试商的次数比较多，可根据不同的情况用不同的方法来试商。4.除数是两位数的除法的计算方法（1）从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果它比除数小，再试除前三位。（2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。（3）求出每一位商，余下的数必须比除数小。5.商的变化规律（1）除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。（2）被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。（3）被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。1.填空题。（1）83579000是()位数，最高位是()位，“7”在()位上，表示7个()。（2）一个数由2个亿、5个百万、4个万、6个千和8个一组成，这个数写作()，读作()，省略万位后面的尾数是()。（3）“轿车每小时行驶60千米，它5小时行驶多少千米？”，这道题中已知的是()和()，要求的是()。（4）980000000000读作()，改写成用“亿”作单位的数是()。（5）□82÷67，要使商是一位数，□里最大填();要使商是两位数，□里

141最小填()。（6）蜂鸟的飞行速度可达每分19千米，这个速度可记作()。（7）三位数乘两位数，积可能是()位数，也可能是()位数。（8）两数相除商是32，若被除数和除数同时乘4，商是()。（9）已知75×36=2700，那么750×36=()，25×36=()，150×18=()。（10）9□8530000≈9亿，方框里最大能填()。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）最小的自然数是1。()（2）两个因数的末尾共有几个0，积的末尾就一定有几个0。()（3）两数相除，商是23，余数是11，被除数最小是287。()（4）4003580读作四百万零三千五百八十。()（5）一个数含有2个数级，它一定是八位数。()3.选择题。（将正确的答案的序号填在括号里）（1）下列各数中，只读一个0的是()。①1200340②3421000③2003140（2）360×50积的末尾有()个0.①2②2③4（3）一道除法算式中，除数乘4，要使商不变，被除数要()。①除以4②不变③乘4（4）两个数相除的商是25，余数是16，除数最小是()。①26②17③15（5）一个因数乘100，另一个因数除以10，积应该()。①乘1000②除以100③乘104.□中可以填哪些数字？78□588≈78万8□5760000≈8亿54□720≈55万79□4520000≈80亿169□679≈170万63□8650000≈63亿5.计算下面各题。952÷34277÷18140×35268×45

1426.用你喜欢的方法计算。600÷25170÷34840÷60560÷(4×7)280÷35760÷207.解决问题。（1）162个同学去参加航空模型展览，每18个同学编成一队，可以编成几队？（2）一列火车3小时行了375千米，照这样的速度，它18小时可以行多少千米？（3）一把椅子58元，一张课桌142元。学校买19套课桌椅，一共要花多少钱？（4）李大伯家今年收货苹果930千克，装了38筐后，还剩下18千克。平均每筐苹果多少千克？

1432.图形与几何单元内容知识要点角的度量1.线段、直线和射线的特征即表示方法（1）线段:有两个端点，可以量出长度。线段AB（2）直线:没有端点，可以向两端无限延伸，是无限长的。直线AB或直线（3）射线:只有一个端点，可以向一端无限延伸。射线AB2.角的定义及表示符号从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。则点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角通常用符号“∠”表示。3.用量角器的步骤（1）把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。（2）角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。4.角的分类（1）锐角、直角、钝角、平角和周角。（2）1直角=90°,1平角=180°,1周角=360°。（3）1周角=2平角=4直角。5.画角的步骤（1）画一条射线，使量角器的中线和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。（2）在量角器要求度数刻度线的地方点一个点。（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。平行四边形和梯形1.平行的概念在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。2.垂直的概念两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。3.画垂线的方法（1）用两把三角尺画;（2）用量角器画;（3）用一把三角尺画。类型:①过直线上一点画垂线;②过直线外一点画这条直线的垂线。4.用画垂线的方法画长方形（1）画一条制定长度的线段作为长方形的长（或宽）;（2）以画出线段的两个端点为垂足，向同一方向画两条鱼这条线段垂直的线段，长度是制定的长方形的宽（或长）;（3）把这两条线段另外的端点连接起来。

144单元内容知识要点平行四边行和梯形5.平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。平行四边形容易变形。6.梯形的概念（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形。（3）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。7.四边形之间的关系长方形和正方形可以看成特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形。各种四边形之间的关系可以用下图表示:公顷和平方千米1.1公顷有多大边长是100米的正方形的面积是1公顷。400米跑道围起来的部分的面积大约是1公顷。1公顷=10000平方米。2.1平方千米有多大计量较大的土地面积，常用“平方千米”（km2）作单位，边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。1平方千米=1000000平方米=100公顷1.填空题。（1）两条直线相交成()时，这两条直线就互相垂直。（2）我们学过的角按大到小的顺序有()、()、()、()和()。（3）长方形的对边互相()，邻边互相()。（4）角的大小与()无关，与()有关。（5）只有一组对边平行的四边形叫做()，两组对边分别平行的四边形叫做()。（6）()和()是特殊的平行四边形。（7）30°角的()倍是直角，30°角的()倍是平角，30°角的()倍是周角。（8）10平方米等于()公顷，等于()平方米。

1452.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）两条不相交的直线叫做平行线。()（2）平行四边形和梯形都有无数条高。()（3）直线比射线长，射线比线段长。()（4）过一点可以画无数条射线。()（5）两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。()（6）大于90°的角叫钝角。()3.选择题。（将正确的答案的序号填在括号里）（1）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线()。①互相平行②互相垂直③相交（2）钟面上9:15，时针和分针所成的夹角是()。①锐角②钝角③平角（3）一条()长50厘米。①直线②射线③线段（4）下面的角中，不可能用一副三角尺拼出的是()。①15°②20°③120°（5）两条平行线之间，最短的是()。①线段②垂直线段③直线4.按要求作图。（1）画一个比直角大25°的角。（2）过点A作已知直线的垂线和平行线。5.画一个长6厘米、宽2厘米的长方形。6.画出下面四边形的高，并使这两个图形分成一个三角形和一个梯形。

1467.数一数。8.想一想，填一填。30000平方米=()公顷8公顷=()平方米4800000平方米=()公顷2平方千米=()平方米50000000平方米=()公顷=()平方千米9.如图，你能求出∠1和∠2的度数吗？10.下图中有几个锐角？几个直角？几个钝角？几个平角？共有几个角？3.统计与优化单元内容知识要点统计1.表示数据的方法可以用统计表表示，可以用圆圈图表示，还可以用条形图来表示。其中用条形图表示最直观、最形象。2.条形图中1格表示几条形图中1格表示几，要根据具体情况来定。若要表示的数据较小，可用1格代表1或2;若要表示的数据较大，可用1格代表5;还有的时候可用1格代表10、100、1000……优化1.沏茶问题合理安排工作顺序，明白先做什么，后做什么，可以同时做的事情要同时做。2.烙饼问题每一次尽可能地让锅里放最多的饼。3.对策论问题解决同一个问题可以用不同的策略，要学会寻找最优方案。

1471.珠宝山村近几年村民家用轿车拥有量的情况如下表。年份2010201120122013数量/辆10153255（1）完成下面的条形图。（2）图中每格代表()辆。（3）()年家用轿车的拥有量最多。（4）从图中你获得了什么信息？2.下面是一所学校四（2）班学生的体重统计图。（1）体重在31～35千克的有()人，在36～40千克的有()人。（2）体重在36～40千克的比体重在26～30千克的多()人。（3）四（2）班参加统计的共有()人。（4）如果体重在25千克以下为不达标，41千克及以上的为超标，你对这些同学有什么建议？

1483.下面是小明根据四（1）班、四（2）班同学课间最喜欢吃的食物的调查结果绘制的统计表。食物类别膨化食品水果干果油炸食品人数15202440（1）请你根据上表完成下面的条形图。（2）从图中你得到哪些信息？（3）你对他们的课间饮食爱好有什么建议吗？4.中午，妈妈要包饺子，为了尽早地吃到饺子，她让小红先安排一下在包饺子的过程中完成每件事的顺序。请你帮小红一块儿来设计。事情买菜包饺子烧开水煮饺子洗碗耗时（分钟）82510525.一堆糖果共有56块，奇奇和东东两人轮流取，每次只能取两块或3块，谁拿走最后一块糖谁就获胜。请你帮帮奇奇吧！

149期末测试题（时间90分钟分数:120分）1.填空题。（20分）（1）一千零五十五万零九十九写作()，四舍五入到万位是()。（2）3个百亿、4个千万和8个千组成的数是()，读作()，省略亿位后面的尾数是()。（3）梯形中只有()组对边互相平行，平行的对边分别叫做梯形的()和()。（4）飞机每小时可以飞行980千米，它的速度可记作()。货车3小时行驶327千米，它的速度是()。（5）经过两点能画()条直线，经过一点能画()条直线。（6）两个因数的积是450，其中一个因数扩大到它的2倍，另一个因数扩大到它的3倍，积是()。（7）299□600≈300万，□里最小填()，最大填()。（8）5公顷=()平方米700公顷=()平方千米（9）□69÷47，要使商是一位数，□里最大填();要使商是两位数，□里最小填()。（10）用一只平底锅煎饼，每次只能同时煎两张饼，如果煎一张饼需要4分钟（正、方面各需2分钟），那么煎5张饼至少需要()分钟。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（5分）（1）百万位上的5表示的数是百位上的5表示的数的100倍。()（2）一条直线长10厘米，它的一半时5厘米。()（3）锐角一定比钝角小。()（4）两个高相等的平行四边形拼在一起还是平行四边形。()（5）821×92的结果里包含7个万、5个千和32个一。()3.选择题。（将正确的答案的序号填在括号里）（10分）（1）2700÷400=6……()。①3②30③300（2）公顷与平方千米之间的进率是()。①100②1000③10（3）下列算式中，与24×30的计算结果不同的是()。①240×3②12×60③204×3（4）下列各数中，最接近9万的是()。①90101②89989③89899（5）平行四边形的对边()。①平行但不相等②平行且相等③互相垂直且平行

1504.计算题。（24分）（1）口算。（12分）640÷80=90÷30=540÷90=86×3=4×25=210÷70=42×3=960÷60=16×40=550÷50=480÷58=151÷30=（2）计算下面各题，并且验算。（12分）456×23240×48336÷42976÷245.画一画。（10分）（1）画出与左图相同的梯形，再在里面画一条线段，把它分成一个三角形和一个平行四边形。（2）画出与∠1同样大的角，并过A点作出∠1两边的垂线。6.下面是天天书屋故事书借阅情况的统计表。（11分）星期星期一星期二星期三星期四星期五人数1618141528（1）完成下面的条形图。（4分）（2）哪天借阅故事书的人数最多（4分）（3）你还能提出什么问题？试解答。（3分）7.解决问题。（20分）（1）四年级有380人去郊外春游，需要几辆车接送？（4分）（2）校体育队买了5套运动服花了1090元，平均每套运动服多少元？照这样计算，买14套运动服要花多少元？（6分）

151（3）美工小组有18名同学，一共折了450只纸船，平均每名同学折了多少只纸船？（5分）（4）四（1）班和四（2）班比赛打乒乓球，每班选出打乒乓球最好的5名同学，共打5场球，5局3胜。（每班名次相同的选手实力相当）四（1）班:第一名第二名第三名第四名第五名王强李清波黄艳林刘云飞龚正烨四（2）班:第一名第二名第三名第四名第五名夏章虎张佳乐李文奇刘依依马潇如果比赛中每个人都正常发挥，四（2）班怎样对阵才能获胜？（5分）附加题。（20分）1.小明以每秒3米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列147米的火车，火车的速度是每秒18米。火车经过小明身旁的时间有多长？（8分）2.今年哥俩的岁数加起来是55岁，曾经有一辆，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍。哥哥今年多少岁？（12分）

1521大数的认识第1课时亿以内数的认识和读写温习旧知由7个千和4个一组成的数是();1505里面有()个千、5个()和()个1。10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万。预习新课先写出下面各数分别是由多少个万和多少个一组成的，再写一写，读一读。由()个万和由()个万和()个一组成。()个一组成。写作:()写作:()读作:()读作:()（1）含有两级的数的读法:①先读，再读;②的数要按照的数的读法来读，再在后面加上一个“”字;③每组末尾不管有几个0，;其他数位有一个0或连续几个0，。（2）含有两级的数的写法:先写，再写;哪一位上一个单位也没有，就在那一位上。练习反馈1.用4个“9”和4和“0”组成一个八位数。（各举一例）（1）一个零都不读出来()。（2）只读一个零()。（3）读出两个零。()（4）读出三个零()。（5）最接近90000000的数()。2.（培优题）根据下面密码所表示的数字，把其余各密码破译出来，并在计数器上拨出这些数。密码符号数字※◎★#♂&▲62540317◎♂★※&#※#♂&&◎▲我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

153第2课时亿以内数的大小比较温习旧知□里最大能填几？2□57<2458□23>74748□6<48752□9>2574□68<49993□7<316万以内数的大小的比较方法:如果位数不同，位数多的数大，位数少的数小;如果位数相同，从高位起一个数位一个数位地比较，知道比较出大小为止。预习新课在比较2876500和2890130的大小时，因为这两个数的位数()，且()位和()位上的数字也相同，所以要比较()位上的数字。因为7<9，所以2876500○2890130。亿以内数的大小比较方法与万以内数的大小比较方法。位数时，位数的数大;位数时，从位开始比较。练习反馈1.（信息题）写一写，再将五大自然保护区的面积按从小到大的顺序进行排列。名称面积/公顷珠穆朗玛峰三百三十八万一千3381000青海可可西里四百五十万北湖神农架七万零四百六十七四川卧龙七十万贵州梵净山四万一千九百2.下面的□里能填哪些数字？42□600>428600853080<□16097326236<23□3573.（培优题）把由数字1,2,3,5,8组成的五位数按从小到大的顺序排列，排在第25位的数是多少？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

154第3课时亿以内数的改写及求近似数温习旧知填一填。（1）珠穆朗玛峰的海拔高度是8844米，约是()米。（2）高铁列车每小时大于可以行使320千米，约是()千米。求近似数的方法:看这个准确数更接近哪个整十、整百、整千的数，这个整十、整百、整千的数就是这个准确数的近似数。预习新课2500000=万23015≈万省略级的个0，小于，把它和写上万字。它右边的数，全改写成，再进行改写。改写时，省略个级的个0，写上“”字;求近似数时，用“”法省略尾数，并添上相应个数的。练习反馈1.下面的画线部分，是近似数的画“○”，是准确数的画“□”。（1）人民广场占地约70000平方米。()（2）我省有1519所普通小学。()（3）某图书馆藏书121647册。（4）世界上最大的金字塔——埃及胡夫金字塔由230多万块巨石砌成。()2.（信息题）写出横线上的数，并改写成用“万”作单位的数或省略万位的尾数求近似数。（1）2015年全国高考报名人数为九百四十二万人，较2014年增加三万人。（2）据2010年第六次全国人口普查统计，上海有两千三百零一万九千四十八人。3.（培优题）用3,5,0,0,0,0组成不读零的六位数，并写成用“万”作单位的数。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字:  

155第4课时亿以上数的认识和读写温习旧知如图，这个数写作()，读作()，它是一个()位数。左边的“6”表示6个()，中间的“6”表示6个()，右边的“6”表示6个()。亿以内数有两个数级:个级和万级，个级包括个位、十位、百位、千位四个数位，万级包括万位、十万位、百万位、千万位四个数位。每相邻两个计数单位间的进率都是10。预习新课先说出下面的数是由多少个亿和多少个万组成的，再写一写，读一读。由()各亿和()个万组成。写作:()读作:()含有三级的数的读法和写法与含有级的数的读法和写法类似。先读（写）级，在读（写），最后读（写）级。练习反馈1.下面每个数中的“6”分别表示什么意义？连一连。260000000367000046800000000163000006个十万6个十亿6个千万6个百万2.（信息题）下面是地球的自我介绍。读一读横线上的数。我是地球。我的表面积约有510000000（读作:）平方千米，陆地面积约有149500000（读作:）平方千米。截至2014年，生活在我上面的人口约7000000000（读作:）人，土地荒漠化每年给我造成的经济失约54000000000（读作:）美元。我快承受不了了，快救救我吧！3.（培优题）下面各数分别读出几个“零”？连一连。8029340000读出四个“零”80209340000读出三个“零”80293400000读出两个“零”802009000304只读出一个“零”80209000340一个“零”都不读出来我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

156第5课时亿以上数的改写及求近似数温习旧知把下面各数改写成用“万”作单位的数或近似数。（1）北京奥林匹克公园占地11590000平方米。（2）地球赤道的周长约40075700米把一个数字写成用“万”作单位的数（或近似数）时，要对千位上的数字进行“四舍五入”，然后省略个级，写上“万”字。预习新课102800000000=亿35174200305≈亿省略级和级的大于，向它的前一位0，写上“亿”字。，把它和它右边的数，全改写成，再进行改写。改写时，省略的个0，写上“亿”字;求近似数时，用“”法省略尾数，并添上相应个数的。练习反馈1.把下面各数写成用“亿”作单位的数。18000000000=()亿70200000000=()亿1500000000=()亿5673080000≈()亿8049999000=()亿1234567890≈()亿2.在○里填上“>”“<”或“=”。889000○889万6500000000○65亿1亿○9900万2749亿○2749650034007○7亿634001300○6350030013.（信息题）先写出下面横线上的数，再省略亿位后面的尾数求近似数。（1）地球上海洋的总面积约是三亿六千一百万平方千米。（2）火星是太阳系八大行星之一，它与太阳的平均距离约为两亿两千七百九十四万千米。4.（培优题）用2个6,2个3和6个0按要求组成十位数。（1）最小的数是()，约是()亿;最大的数是()，约是()亿。（2）一个零也不读的数是()，约是()亿。（3）最接近60亿的数是()。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

157第6课时计算工具的认识温习旧知写出下面各数。算盘可以用来帮助数数和计数。算盘上一颗下珠表示1，一颗上珠表示5。预习新课用计算器计算397+186，并记录计算过程。按键屏幕显示是我国的传统计算工具，它的主要作用是和;目前人们广泛使用的计算工具是。练习反馈1.用计算器计算下列各题。857＋798=1423－234=178＋1962=197×282=545×123=5928÷156=2592÷144=2795－1438=10150÷(7780－7730)89×826÷4132.下面是一张学校食堂的采购单，请你把它补充完整。（用计算器计算）物品数量单位单价/元金额/元132桶156240袋8798袋96合计3.（培优题）某数依次加8、乘8、除以8，最后结果等于8，这个数是多少？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

158第7课时用计算器探索规律温习旧知用计算器计算。9875＋4152=569434－247589=9842＋5698=586×36=354×89=20592÷78=用计算器计算时，要先按开关键接通电源，然后按照从左到右的顺序依次按数字键或运算符号键，最后按键得出结果。预习新课用计算器计算下列各题，并说一说其中的规律。9999×11=9999×14=9999×12=9999×15=9999×13=9999×16=探索规律时，先算出算式的结果，再对比各和的异同，找出其中的规律。练习反馈1.先用计算器计算每组前三题，再根据规律写出其他算式的得数。（1）1×9=（2）12×9＋3=    12×9= 123×9＋4= 123×9= 1234×9＋5= 1234×9= 12345×9＋6=   12345×9= 123456×9＋7=   123456×9= 1234567×9＋8= 1234567×9= 12345678×9＋9= 2.想一想，算一算，填一填，再用计算器验算。（1）965+966+967+968+969=()×()=()（2）886+888+890+892+894+896=()×()=()3.先用计算器计算每组前三题，再根据规律写出其他算式的得数。（1）3333×4=（2）3×3=3333×5=33×33=3333×6=333×333=3333×7=3333×3333=3333×8=33333×33333=4.（培优题）算一算:666666666×666666668我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1592公顷和平方千米温习旧知单位换算。5平方米=()平方分米=()平方厘米4000平方分米=()平方米=()平方厘米200000平方厘米=()平方分米=()平方米边长是1厘米的正方形面积是1平方厘米;边长是1分米的正方形面积是1平方分米;边长是1米的正方形面积是1平方米。预习新课填一填。（1）边长为200米的正方形的面积:S=()×()=()平方米=()公顷。（2）边长为2000米的正方形的面积:S=()×()=()平方米=()公顷=()平方千米。1公顷=平方米1平方千米=平方米= 公顷练习反馈1.填空题。（1）在括号里填上合适的面积单位。音乐教室面积约是60();天安门广场的面积约是44();颐和园总面积达290();俄罗斯的国土面积约1700万()。（2）7公顷=()平方米45平方千米=()公顷=()平方米2.一个正方形果园的周长是1200米，这个果园的占地面积是多少米？合多少公顷？3.（培优题）有一个长9千米、宽6千米的长方形林场。为了利于数目成长，林场在四个角种子矮植株植物，中间种子高植株植物，如图所示。求该林场中间种植的高植株植物的面积。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字:  

1603角的度量第1课时线段直线射线温习旧知数一数，下面各图中分别有几条线段。线段有三大特征:（1）线段是直的;（2）线段有两个端点;（3）线段可以量出长度。预习新课图示名称表示方法端点个数长度一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看做;把线段向两端无限延伸，就得到一条；把线段向一端无限延伸，就得到一条。练习反馈1.选一选，填一填。线段有:直线有:射线有: 2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）小英画了一条长5厘米的直线。()（2）过一点只能画两条直线。()（3）一端笔直的公路可以近似地看作一条线段，太阳射出的光线可以近似地看作射线，天际线可以近似地看作一条直线。()3.（1）画一条3厘米长的线段。（2）画线段AB、直线AC、射线BC。4.（培优题）数一数，填一填，你发现了什么？（1）（2）（3）()条射线()条射线()条射线()条线段()条线段()条线段我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

161第2课时角温习旧知比一比，再填空。角的大小与角的两条边的长短无关，与它们张开的大小有关。预习新课填一填。从引出所组成的图形叫做角，叫做角的顶点， 叫做角的边。练习反馈1.下图中是角的有:。（填序号）2.以点A为顶点画一个角，使它的一边经过点B，另一边经过点C。3.一个正方形有几个角？如果去掉一个角，还剩下几个角？（先在下面的正方形中画一画，再解答）4.（培优题）数一数下面各图中分别有几个角，你有什么发现？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

162第3课时角的度量温习旧知下面哪些图形是角？用笔圈起来。像张开的剪刀、三角叉、钟面、纸扇等实物上都有大大小小的角。一个角有一个顶点和两条边。预习新课填一填。用量角器量角的时候，把量角器放在角的面，使量角器的中心和重合，0°刻度线和重合，与某刻度线重合，该刻度线所对应的刻度就是这个角的度数。练习反馈1.先估算，再量一量下面的角各是多少度。2.判断题。（对的打“√”，错的打“×”）（1）角的大小只与角的两条边张开的大小有关，与长短无关。()（2）用一个能放大2倍的放大镜看一个25°的角，所看到的角是50°。()（3）9时时，时针和分针所成的角是90°。()3.（培优题）用量角器量出每个三角形中角的度数，再求出三个角的度数之和。你能发现什么规律？∠1=∠1=∠1= ∠2=∠2=∠2= ∠3=∠3=∠3= ∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠3=∠1+∠2+∠3= 我的发现: 我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

163第4课时角的分类与画角温习旧知数一数，填一填。图中有:()个锐角()个直角()个钝角三角尺上最大的角是直角，小于直角的角叫做锐角，大于直角的角叫做钝角。预习新课填一填。角按大小分为、、、、;1周角=平角=直角。练习反馈1.把下面各度数的角填在相应的横线上。75°88°90°135°91°89°59°180°179°100°360°60°锐角:直角:钝角: 平角:周角: 2.用量角器画出下面各角。80°35°120°165°3.在下面的钟面上画出时针和分针，使它们的夹角分别是60°，90°和150°。4.（培优题）下图中所有角的度数和是300°，且∠1=∠2=∠3=∠4，那么∠AOB是多少度？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1644三位数乘两位数第1课时三位数乘两位数温习旧知下面的竖式错在哪里？请改正。两位数乘两位数，先用第二个因数个位上的数乘第一个因数，所得的积的末位要和个位对齐;再用第二个因数十位上的数乘第一个因数，所得的积的末位要和十位对齐;最后把两次乘得的积相加。预习新课完成下面的算式。三位数乘两位数用两位数 和 上的数字分别去乘三位数，用哪一位上的数字去乘，乘得的结果的就和那一位对齐，最后把两次乘得的结果。练习反馈1.列竖式计算下列各题。144×52214×28134×2527×1192.李大爷从大棚中收获了一些蔬菜，你能算出每种蔬菜各是多少千克吗？蔬菜西红柿萝卜大白菜筐数231635平均每筐的质量/千克114122116总质量/千克3.一个没有拧紧的水龙头每天会流失掉21升水，照这样计算，一年（按365天算）要流失掉多少升水？一个成年人每天需要喝2升水，这些水够200个成年人喝19天吗？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

165第2课时因素末尾有0的乘法温习旧知口算。30×70=120×20=57×600=410×30=33×40=18×700=25×40=70×68=200×30=口算两位数乘整十、整百数时，先把乘数中0前面的数相乘，算出积后，再添上原来乘数中被省略的0。预习新课完成下面的算式。因数末尾有0时，先把前面的数相乘，然后看两个因数的一共有几个0，就在的末尾添上几个0。练习反馈1.列竖式计算下列各题。320×40240×30270×342.在○里填上“>”“<”或“=”。16×50○160×532×30○10×69690×0○112×300○120×4018×200○20×17075×100○74×10121×40○210×422×20○20×3018×300○270×203.小乐做乘法计算时，把其中一个因数45看成了54，结果得到的积比正确的积多1800.正确的积是多少？4.（培优题）计算:我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

166第3课时第一个因素中间有0的乘法温习旧知用竖式计算。207×31008×9305×8中间有0的三位数乘一位数的笔算方法:先把相同数位对齐，再从各位乘起，用一位数依次乘三位数的每一位。在与中间的0相乘时，如果没有进上来的数，那么就在积的这一位上写0占位;如果有进上来的数，那么就在积的这一位上写进上来的数。预习新课下面的计算错在哪里？请改正。当第一个因数中间有0时，用第二个因数的上的数字依次去乘第一个因数的每一位数，包括都要乘。练习反馈1.用竖式计算。206×45108×32709×402.（信息题）一棵树苗高205厘米，世界上最高的杏仁桉树的高度大约是它的76倍。世界上最高的杏仁桉树大约高多少厘米？3.（培优题）小马虎做一道乘法题时，把其中的一个因数18看成了15，结果得到的积比正确的积少609.（1）把因数18看成了15，少算了()，积少了609，另一个因数是()。（2）正确的积是多少？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

167第4课时积的变化规律温习旧知想一想，算一算。3×2=15×6=3×20=15×60=30×2=150×6=30×20=150×60=计算乘法时，一个因数不变，另一个因数末尾添上几个0，积的末尾也要添上几个0。预习新课根据25×14=350写出下列各式的积。25×28=25×42= 25×56=250×14= 50×14=75×14= 一个因数，另一个因数 （或）几，积也 （或）几。练习反馈1.一种词典的单价是52元，买4本这样的词典需要多少元？买8本、20本、40本、400本呢？单价/（元/本）5252525252数量/本482040400总价/元每次购买的数量发生了什么变化？每次的总价呢？2.完成下列各题。（1）两个数相乘，一个因数扩大到原来的18倍，要使积只扩大到原来的6倍，另一个因数应该怎样变化？（2）如果一个因数乘4，另一个因数除以8，它们的积会怎么变化？3.（培优题）如果A×B=280，那么:2A×B=()A×3B=()A×(B÷7)=()(A×4)×(B÷4）=()我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

168第5课时运用数量关系解决问题温习旧知先估算，再笔算。423×1875×206笔算三位数乘两位数时，先分别用两位数个位、十位上的数字去乘三位数，用哪一位上的数字去乘，乘得的结果的末尾就和那一位对齐，最后把两次乘得的结果加起来。预习新课买6副要()元5小时行驶()千米总价=× 路程=× 练习反馈1.填表。路程480千米125千米总价150元90元时间4小时5分钟数量50千克25吨速度80米/分25千米/时单价30元/千克900元/吨2.李老师带了100元钱，需要买5个球，有几种买法？请写在下面。3.一座大桥长2400米，一列火车以每分钟行940米的速度从车头上桥到车尾离桥共用了3分钟。这列火车长多少米？4.（培优题）小白兔和小乌龟的千米赛跑开始了，小乌龟立刻以15米/分的速度开始爬，小白兔先睡了1小时，然后以100米/分的速度开始跑。请你猜一猜:它们谁获胜了？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1695平行四边形和梯形第1课时平行与垂直温习旧知下面的图形中，哪些是直线？哪些是角？把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。直角=90°。预习新课看图填一填。相交乘直角的两条直线叫做;在同一个平面内不相交的两条直角叫做。练习反馈1.找一找，在互相平行的线下面的()里画“△”，在互相垂直的线下面的()里画“○”。2.看图填空。（1）如图①，在长方形ABCD中，()与()互相垂直，()与()互相平行。（2）如图②，在正方体中，()与()互相垂直，()与()互相平行。3.先观察汉字“王、下、二、工、田、五、开、上”，再按要求做一做。（1）有互相垂直的线段的汉字有:。（2）有互相平行的线段的汉字有:。（3）既有互相平行又有互相垂直的线段的汉字有:。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

170第2课时画垂线温习旧知找一找，填一填。FHLNT（1）存在线段互相平行的字母有。（2）存在线段互相垂直的字母有。（1）即存在线段互相平行又存在线段互相垂直的字母有。两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做垂足。预习新课过点P作直线的垂线。画垂线的方法:（1）把三角尺的 和已知直线重合;（2）沿着直线移动三角尺，使三角尺经过已知点;（3）沿画一条直线;（4）标出。练习反馈1.画一画。（1）过点P分别作直线（2）过三角形的三个顶点分别向对边的垂线。作垂线。2.分别画一个周长是20厘米的长方形和正方形。（每个小方格的边长是1厘米）3.（培优题）过长方形ABCD的A、C两个顶点分别向对角线BD作垂线，这两条垂直线段具有什么样的关系？你有什么发现？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

171第3课时点到直线的距离温习旧知过点P分别作三角形三边的垂线。过一点画一条直线的垂线的步骤可以简记为:一靠二移三画四标。预习新课小马走第()条路过河最近。从直线外一点到这条直线所画的 最短，它的长度叫做。练习反馈1.如图，同学们进行抢板凳游戏，这样做公平吗？说说你的道理。2.（培优题）观察一下，下面图形中，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？请你用本课学习时发现的规律，动手检验一下。3.一条清淤船正在清理人工湖里的污物，船上工人要把清理出的污物送到岸上，按怎样的路线划行最短？画一画。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

172第4课时平行四边形温习旧知写出图中互相平行和互相垂直的线段。在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。预习新课在下图中画出一个平行四边形，并标出底和高。两组对边的四边形叫做平行四边形，从平行四边形的一条边上的一点到是它的高。练习反馈1.下面那些图形是平行四边形？（在括号内画“√”）2.下面各图中，哪条线段是平行四边形底边上的高，请描出来。3.用一根96厘米长的铁丝围成一个平行四边形，相邻的两条边中，其中一条长18厘米，另一条长多少厘米？4.（培优题）数一数，下图中共有多少个平行四边形？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

173第5课时梯形温习旧知在下面的长方形中剪出一个平行四边形，画出它的一条高，并标出它的底。两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形。长方形、正方形都是特殊的平行四边形。预习新课在下图中画一个梯形，并标出它的上底、下底、腰和高。只有一组对边的四边形叫做梯形。从梯形底边上的一点到是它的高。练习反馈1.按要求在下面图形中画一条线段。（1）①分成两个梯形。②分成一个平行四边③分成一个三角形和一形和一个梯形。个梯形。（2）①在梯形上画一条虚线②在平行四边形上画一条虚线，把这个梯形分成一个平把这个平行四边形分成两个行四边形和一个三角形相同的梯形。2.数一数，填一填。3.（培优题）用两个一样的等腰梯形设计两个图案，使之分别有一条和两条对称轴。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1746除数是两位数的除法第1课时口算除法温习旧知口算。80÷4=600÷2=480÷8=150÷5=84÷4=55÷5=一位数除多位数的口算方法是利用数的分解将它转化为表内除法，再求商。预习新课口算。80÷2=180÷30=90÷30=140÷70=420÷58≈253÷50≈口算除法时，可以分别把被除数和除数看作（或）个十和个十，再用表内除法计算。练习反馈1.在下面的○里填上“>”“<”或“=”。320÷80○120÷40800÷80○5×2360÷40○560÷70360÷60○200÷50120÷58○59÷30397÷81○403÷792.估一估，哪个算式的商最接近圆圈中的数？把它圈出来。3.解决问题。（1）饲养场里有120只兔子，如果每30只兔子关进一个笼子里，需要多少个笼子？（2）某校举行“百年校庆”活动，如果60人一共放了476个气球，那么每人大约放了多少个气球？（3）（培优题）某地要在新修的公路两侧安装路灯，公路长450米，每隔50米安装一盏路灯（两端都安装），这条公路一共要装多少盏路灯？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

175第2课时除数是整十数的笔算除法温习旧知用竖式计算。325÷7148÷6576÷8笔算除数是一位数的除法时，每次用除数先试除被除数的前一位数;除到被除数的哪一位，就在那一位的上面写商。预习新课说出各题的商是几，应该写在什么位置。商是（）商是（）写在（）位上写在（）位上笔算整十数除两、三位数时，除到被除数的哪一位，就在写商;每次除得的余数要比除数。练习反馈1.列竖式计算。67÷30642÷80321÷502.下面的计算对吗？不对的请改正。3.60元，50元。妈妈有156元。（1）如果都买裙子，可以买几件？（2）如果都买裤子，可以买几条？还剩多少钱？还剩多少钱？4.（培优题）被除数分别是多少，才能使余数最大？填一填。（1）()÷30=6……()①算式中的除数是30，那么余数最大是()。②根据“被除数=除数×商＋余数”可知，被除数是()。（2）()÷50=8……()我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

176第3课时“四舍五入”法试商温习旧知用竖式计算。575÷80128÷60757÷90除数是几位数，试商时就要先看被除数的前几位，并根据观察结果确定商的位置。预习新课填一填。（1）在计算103÷19时，可以把除数19看作()来试商。（2）在计算178÷32时，可以把除数32看作()来试商。用“四舍”法试商时，初商容易;用“五入”法试商时，初商容易。练习反馈1.计算。2.根据试商情况，很快说出准确的商。3.计算下面各题，你发现了什么？124÷13224÷24413÷43316÷324.（培优题）在□里填上合适的数，使竖式成立。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

177第4课时灵活试商温习旧知计算。用“四舍五入”法试商时，有时候得到的商不准确，要进行调商。预习新课()的试商方法更接近准确值。计算除数是两位数的除法时，要根据被除数和除数的特征灵活试商，调商次数。练习反馈1.用竖式计算。96÷16526÷64348÷462.改错。3.（信息题）据测算，吸26支烟会缩短156分钟生命。吸一支烟会缩短多少分钟生命？4.()里最大能填几？74×()<29546×()<26226×()<254()×35<178()×84<712()×76<4805.（培优题）刘明在计算319除以一个两位数，商是一位数时，把除数看作几十五试商，商偏大;把除数用“五入”法看作几十试商，商偏小。除数可能是几？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

178第5课时商是两位数的笔算除法温习旧知计算。列竖式计算除数是两位数、商是一位数的除数时，一般按照“四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数来试商。预习新课列竖式计算。930÷31596÷29笔算除法时，从被除数的除起;除到哪一位，就在写商;每求出一位商，余下的数必须比除数。练习反馈1.不用竖式计算，直接说出下面各题的商是几位数。2.根据试商情况，在横线上填出准确的商。3.四（1）班矩形遥控飞机比赛，小明的遥控飞机48秒飞行了624米小亮的遥控飞机58秒飞行了812米，小美的遥控飞机68秒飞行了816米。谁的遥控飞机速度最快？4.（培优题）算式谜。我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

179第6课时商不变的规律温习旧知计算。12×3=50×40=84×3=50×4=12×12=500×4=一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几。预习新课根据每组的第一个算式，直接写出其他算式的结果。36÷6=6144÷12=12360÷6=288÷12=36÷12=144÷24=720÷12=1440÷120=除数不变，被除数（或）几，商也（或）几;被除数不变，除数（或）几，商反而 （或）几练习反馈1.填空。×3×4□□不变不变480÷60=8324÷18=18480÷□=□□÷□=□2.连一连。商是720÷902400÷3008560÷70540÷60400÷51600÷20320÷404800÷603.张叔叔开车往北京送货，5小时行驶200千米。照这样的速度行驶，30小时能行驶多少千米？（用两种方法解答）4.（培优题）仔细观察，找出规律并填空111111111÷9=12345679555555555÷()=12345679222222222÷18=12345679()÷54=12345679333333333÷27=123456797777777777÷()=12345679()÷36=12345679888888888÷72=()我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

180第7课时运用商不变的规律简算温习旧知口算。60÷30=720÷80=900÷20=360÷60=口算除法时，可以把被除数和除数看作几（或十几或几十）个十，转化成表内除法计算。预习新课口算下面各题。3600÷600=125÷25=5400÷900=270÷54=7500÷500=96÷24=对于一些除法算式，可以根据被除数和除数的特点，灵活运用将除数转化成数，从而使计算简便。练习反馈1.下面的计算对吗？把不对的改正过来。2.在()里填上适当的数。650÷25=()240÷12=()×()×4÷4÷()()÷100=()()÷3=()3.用简便方法计算。4200÷752070÷90325÷2540.（培优题）算一算。（1）84÷7÷2=240÷4÷6=400÷25÷4=84÷(7×2)=240÷(4×6)=400÷(25×4)=（2）根据（1）中的规律计算下题。10000÷125÷8÷5÷2我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1817条形统计图第1课时1格表示一个单位的条形统计图温习旧知（1）这半月()天最多，有()天。根据1月份上半月的天气情况统计表填空。天气晴阴雨天数942（2）这半个月()天最少，有()天。将统计的结果用表格的形式展现出来，这种表格就是统计表。预习新课丽丽调查了班上的同学“五一”最想去的城市情况，结果如下表:最喜欢的城市北京昆明青岛三亚人数1610816用1个格子表示()个人，在格子里画一画。用表示一定的数量，根据 画出长短不同的直线，并且 排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。练习反馈1.下面是小红调查本班同学喜欢各种花的情况后制作的统计图。（1个格子表示1个人）（1）喜欢()的人数最多。（2）喜欢月季的比喜欢玫瑰的少()人。2.下面是南海超市2015年1月末根据左侧的表格将下面的条形统计图补充完整。销售四种品牌矿泉水的记录表。矿泉水ABCD数量/箱6593应该多进哪种品牌的矿泉水？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

182第2课时1格表示多个单位的条形统计图温习旧知下面是黄河路小学四（6）班向贫困地区捐书的统计表。种类图画书故事书工具书作文书数量/本35451530()书捐得最多，()书捐得最少;四（6）班向贫困地区共捐书()本。统计表能直接获取数据;统计图能直观了解数据间的大小关系。预习新课（1）每格代表()人，喜欢()的人最多，喜欢()的人最少。（2）四（1）班一共有()人。下面是四（1）班的同学最喜欢的蔬菜情况统计图。如果统计的数据较大，用1格代表1个单位不方便时，可以用1格代表 或 个单位，这样既能直观地反映，又能使条形图看起来。练习反馈（1）上图中的1个表示多少千克苹果？旺旺家开了一间水果批发店，根据表中的数据完成下面的统计图并回答问题。上星期正值苹果销售旺季，他统计了自己水果店销售苹果的情况，如下表:星期质量/千克星期一400星期二500星期三600星期四600星期五800星期六900星期日1100（2）旺旺家的水果店上星期平均每天销售了多少千克苹果？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

1838数学广角——优化第1课时合理安排时间温习旧知掷两枚骰子，朝上的一面的点数之和有哪些结果？事物的组合与顺序无关，可以借助列表法、图示法来帮助解答。预习新课请帮小美设计做饭的顺序，以便尽早开饭。杀鱼、洗鱼:5分钟烧鱼:8分钟淘米:2分钟煮饭:12分钟解决合理安排时间的问题的步骤:（1）思考完成一项工作；（2）分析每项事情;（3）合理安排工作的顺序，明白，，哪些事情可以。练习反馈1.妈妈星期六在家里做了下面的家务活。整理房间给鱼缸换水浇花烧开水用洗衣机洗衣服10分钟7分钟3分钟5分钟25分钟妈妈认为做这些家务活需要50分钟。你认为最合理的安排需要多少分钟？2.放学回家，小芳帮妈妈按如下顺序做家务，一共花了42分钟。而妈妈说只花25分钟就可以完成这些家务，妈妈是怎样安排的呢？请你用图示的方法表示出来。扫地:5分钟→喂鸡:3分钟→淘米:5分钟→洗菜:4分钟→打开炉子:1分钟→烧开水:10分钟→煮饭:7分钟→烧菜:7分钟3.（培优题）王师傅给木板刷油漆，刷一遍需要4分钟，等油漆变干需要4分钟，然后刷第二遍油漆。刷3块木板至少需要多少分钟？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

184第2课时烙饼问题温习旧知下面是小明每天早晨起床后的安排:起床穿衣→整理被褥→刷牙→洗脸→(6分钟)(2分钟)(3分钟)(1分钟)温牛奶→烤面包→吃早餐(3分钟)(2分钟)(8分钟)最少需要多少时间呢？合理安排时间要做好两件事:一是考虑各种事情的先后顺序，二是能同时进行的事情要安排同时进行。预习新课煎5条小黄鱼至少需要()分钟。解决烙饼问题时，要每次让锅中尽可能放上的饼，这样即节省，又能充分利用。练习反馈1.填空题。（1）煮一个鸡蛋需要8分钟，一口锅一次可以煮15个鸡蛋，那么煮30个鸡蛋至少需要()分钟。（2）平底锅每次只能烙2张饼，两面都要烙，每面需2分钟。30分钟最多可以烙()张饼。2.一口锅一次只能煎2个鸡蛋，用它煎一个鸡蛋要4分钟（正、反面各2分钟），煎7个鸡蛋至少需要多少分钟？3.（培优题）烤炉上每次可以放4只螃蟹，每烤一面需要3分钟，烤6只螃蟹至少需要几分钟？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: 

185第3课时最优策略问题温习旧知欢欢、乐乐和刘老师合影留念，他们的位置有哪几种排列方法了？事物的排列与顺序有关，按要求排列时要做到全面、有序、不重复、不遗漏。预习新课腾飞队和博学队进行乒乓球比赛，两队各派出5名队员参加，采用5局3胜制。假如你是博学队的队长，你将怎样安排5名队员的出场顺序，使本队获胜的可能性最大？在比赛时，要详细地分析，反复研究，并从中选择一个的策略，从而取得胜利。练习反馈1.四（1）班进行拍球比赛，采用三局两胜制。下面是双方参赛队员1分钟拍球个数的记录。蓝队:李明:25个张晓:40个刘丽:60个红队:杜飞:20个王倩:30个李月:50个已知蓝队的出场顺序是李明、张晓、刘丽。如果你是红队的教练员，应该怎样安排出场顺序？2.有38根小棒，两人轮流拿，每次只能拿2根或3根，谁拿到最后一根就获胜。如果让你先拿，那么为了确保获胜，第一次应该拿几根？接下来应该怎样拿？3.（培优题）一个人带着一只狗、一只羊和一筐白菜要过河，每次只能带一样东西过河，如果主人不在，狗会咬羊，羊会吃白菜。你能帮他想想办法吗？我证明:我的孩子独立思考完成了表格上的学习内容。家长签字: