吉林省实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学（解析版）

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吉林省实验中学2022-2023学年度高二年级上学期期末考试（一卷）数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.第I卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若,,且,为共线向量,则值为（）A.2B.C.6D.8【答案】A【解析】【分析】由,为共线向量,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知,,为共线向量,因为,,所以有,解得,故.故选:A2.已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A.3B.C.D.

1【答案】D【解析】【分析】通过已知条件得出，即可由等差数列通项得出答案.【详解】数列为等差数列，其前项和为，，，，，解得，故选：D.3.若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】A选项，求导后得到，为奇函数，A错误；B选项，求导后，为非奇非偶函数，错误；C选项，求导后，不是偶函数，舍去；D选项，求导后为偶函数，满足题意.【详解】A选项，定义域为R，且，故为奇函数，关于原点对称，A错误；B选项，，定义域为R，由于，故不关于轴对称，B错误；C选项，，定义域为R，由于，故不关于轴对称，C错误；D选项，，定义域为R，则，故关于轴对称，D正确.故选：D4.圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，，且，则圆的标准方程为A.

2B.C.D.【答案】A【解析】【详解】设圆心，则有，因此圆C的标准方程为，选A.5.已知，，则（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解.【详解】由，得，又因为，所以，解得.故选：B.6.在等比数列中，，，则等于（）A.1B.C.1或D.或3【答案】A【解析】【分析】设公比为，而，由求出，再由求出，即可求出得解.【详解】设公比为，，当时，，当时，同号，故舍去.故选：A.7.如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（）

3A.45°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成角的余弦值即可求解.【详解】因为底面，底面,所以，且，所以以为坐标原点，为轴建系如图，则所以,设直线和所成的角为，则,因为，所以，故选:B.8.设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（）A.8，11B.8，12C.6，10D.6，11【答案】C【解析】

4【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案.【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，由椭圆定义可知：，所以的最大值为，的最小值为.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（）A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度C.18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度D.18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度【答案】ACD【解析】【分析】由瞬时速度定义可得答案.【详解】因表示秒这一时刻的瞬时速度，则表示在3s这一时刻的瞬时速度，故不选B，选ACD.故选：ACD10.给出下列命题，其中正确命题是（）A.垂直于同一平面的两直线平行B.平行于同一平面的两直线平行C.平行于同一直线的两直线平行D.空间中不相交的两直线平行【答案】AC【解析】【分析】根据线线、线面位置关系有关知识确定正确选项.【详解】A选项，垂直于同一平面的两直线平行，A正确，

5B选项，平行于同一平面的两直线可能相交、异面、平行，B错误.C选项，平行于同一直线两直线平行，C正确.D选项，空间中不相交的两直线可能是异面或平行，D错误.故选:AC11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与轴相切C.设，则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【答案】AC【解析】【分析】已知抛物线的方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．【详解】取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：对于选项A，因为，所以，故A正确；对于选项B，根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，故，以为直径的圆与准线相切，故B不正确；对于选项C，因为，所以，故C正确；对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误.故选：AC.

612.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列．则下列关于斐波那契数列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由递推公式，利用累加法得到AB选项，计算出前6项，从而判断CD选项.【详解】当时，由可得，，…，．又由，，可得，即，累加可得，，故A正确；又，，，…，，累加可得，故B错误；∵，，，所以，，，，所以C正确；又，所以D正确；故选：ACD．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】【分析】求导后代入切点的值得出切线的斜率，即可由点斜式得出切线方程.【详解】，，

7当时，，又切点为，所求切线方程为，故答案为：.14.平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．【答案】y＝2x－3【解析】【分析】首先在直线上任取两个点，，分别求出两点关于的对称点，的坐标，再用两点式即可求出对称的直线方程.【详解】在直线上任取两个点，，则点关于点对称的点为，点关于点对称的点为.由两点式求出对称直线的方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查直线关于点的对称问题，同时考查了点关于点的对称问题，属于简单题.15.若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为________.【答案】3【解析】【分析】首先求导，根据题意得到在有解，再设，，根据求解即可.【详解】，因为曲线存在与直线平行的切线，所以在有解.即在有解.

8设，，则，当且仅当，即时等号成立，即.所以，即的最大值为.故答案为：316.已知点是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为___________【答案】【解析】【分析】结合已知条件，利用对称关系表示出点坐标，然后将其代入双曲线方程即可求解.【详解】过焦点且垂直渐近线的直线方程为，即联立渐近线方程与，可得，，故对称中心的点坐标为，由中点坐标公式可得对称点，将其代入双曲线的方程可得，即：，故，,故.故答案：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设直线的方程为.（1）求直线所过定点的坐标；（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程.【答案】（1）

9（2）或.【解析】【分析】（1）将方程变形为，解方程组，就可得到直线所过的定点坐标.（2）首先根据直线方程求出过原点时，满足题意的的值；再根据它在两坐标轴上的截距相等(不过原点时)，求出的值，进而分别得出直线的方程.【小问1详解】因直线的方程为，可得，，解得，即直线所过定点的坐标为.【小问2详解】直线过原点时，在轴和轴上的截距为零.符合题意，∴，方程即为.当直线不过原点时，由截距存在且均不为，∴，即.∴，方程即为.因此直线的方程为或.18.已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.（1）求、的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得；（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.

10【小问1详解】设等比数列的公比为，则，；又，，设等差数列的公差为，则，.【小问2详解】由（1）得：；.19.已知圆经过，，圆心在直线上，过点且斜率为的直线与圆有公共点.（1）求圆的方程；（2）求直线的斜率的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆的方程为把，代入方程，圆心代入，列方程求解.(2)直线与圆相交满足圆心到直线的距离小于半径.【小问1详解】设圆的方程为，则依题意，得解得，∴圆的方程为.【小问2详解】依题意可知，直线的方程为，圆心到直线的距离为，

11，解得20.如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．（1）求证：DE⊥平面PCB；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【小问1详解】证明:PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，且面，面∴DE⊥平面PCB【小问2详解】

12以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知：则，设平面BDE的法向量为，则，令，得到，又，则，且AC⊥平面PDB，∴平面PDB的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，所以二面角的余弦值为．21.已知数列的前项和，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】

13【分析】（1）由，可得，后可得的通项公式；（2）由（1）可得，后可由错位相减法求数列的前项和.【小问1详解】当时，，当时，，又满足上式，∴，∴.【小问2详解】由（1）得，，，∴，∴，∴，①①×2得，②①②得，∴.22.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【详解】（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，所以，.所以，椭圆的方程为.

14（Ⅱ）不妨设直线的方程.由消去得，设，，则有，.①因为以为直径的圆过点，所以.由，得.将代入上式，得.将①代入上式，解得或（舍）.所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.设，则.所以当时，取得最大值.