立体几何中平行与垂直问题的解题策略

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立体几何中平行与垂直问题的解题策略平行和垂直这两种位置关系的证明是立体几何中的重点和难点,也是永恒不变的主题。主要考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力,以及数学抽象、逻辑推理和直观想象等数学学科素养。本文主要针对解答题中位置关系的证明与探索展开,希望能给同学们的高考备考提供一些帮助。一、平行关系的证明例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点。图1(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。解析:(1)法一(线面平行的判定定理):取PB的中点Q,连接AQ,NQ,如图2,因为N是PC的中点,所以NQ∥BC,且NQ=BC。又因为AM=BC=BC,且AM∥BC,所以QN∥AM,且QN=AM,所以四边形AQNM是平行四边形。所以MN∥AQ。又MN⊄平面PAB,AQ⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB。

1图2法二(面面平行的性质定理):取BC的中点E,连接EM,EN,如图3,因为N是PC的中点,所以EN∥PB。又EN⊄平面PAB,所以EN∥平面PAB。因为BE=BC=2,AM=2MD=AD=2,且AD∥BC,所以四边形ABEM为平行四边形,所以EM∥AB。又EM⊄平面PAB,所以EM∥平面PAB。又EM∩EN=E,所以平面EMN∥平面PAB,所以MN∥平面PAB。

2图3(2)取BC的中点E,连接AE。由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,且AE=图4点拨:证明线面平行的位置关系的常用方法有:①利用线面平行的判定定理证明;②利用面面平行的性质定理证明;③利用空间向量证明。平行问题主要是线线平行、线面平行和面面平行。一般来说,三者之间是可以利用判定定理和性质定理相互推出。问题的核心是线线平行,而证明线线平行的方法有:①平行公理;②中位线;③平行四边形;④线面平行的性质定理;⑤线面垂直的性质定理等。二、垂直关系的证明例2如图5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PCD⊥平面ABCD,且PC=PD=,CD=2。

3图5(1)证明:PC⊥平面PAD;(2)求点D到平面PAB的距离。解析:(1)法一(线面垂直的判定定理):因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD,所以AD⊥平面PCD。又PC⊂平面PCD,所以AD⊥PC。在△PCD中,PC=PD=,CD=2,PC2+PD2=CD2,所以PC⊥PD。因为PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,所以PC⊥平面PAD。图6

4图7点拨:证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α);③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);④面面垂直的性质;⑤向量法。垂直问题主要是线线垂直、线面垂直和面面垂直。三者可以通过判定定理和性质定理互相转化,问题的核心是线线垂直,而证明线线垂直的方法有:①勾股定理逆定理;②等腰三角形三线合一;③菱形对角线相互垂直;④直径所对的圆周角为;⑤线面垂直的性质等。三、平行、垂直关系中的探索性问题处理空间中平行或垂直的探究性问题,一般根据条件先猜测点的位置,再给出证明。从近几年高考命题看,考查力度与以往基本相同,与之相关的题目,难度较大。1.平行关系中的探索性问题例3如图8,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,E,F分别是BD,AC的中点,且AB=BE=AE=CE,BC=DC。

5图8(1)在线段AB上是否存在点G,使得DF∥平面CEG?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。(2)求直线DF与平面ACE所成角的正弦值。解析:(1)假设在线段AB上存在点G,使得DF∥平面CEG。图9因为CE⊥平面ABD,所以平面ACE⊥平面ABD,过点D作DM⊥AE交延长线于点M,如图10,DM⊥CE,CE∩AE=E,则DM⊥平面ACE,连接FM,则∠DFM即为直线DF与平面ACE所成的角。

6图10点拨:假设结论成立,在△BDF中,作出EH∥DF,延长CH找到点G,设参数λ,利用向量三点共线定理求出参数,确定点G并求出比值。2.垂直关系中的探索性问题例4如图11,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB。图11(1)若AB=AD,直线PB与CD所成的角为45°,求二面角P-CD-B的大小;(2)若E为线段PC上一点,试确定点E的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由。

7解析:(1)因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD。因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD。又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD。又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角。又直线PB与CD所成的角为45°,所以∠PBA=45°,即PA=AB。在Rt△PAD中,PA=AD,有∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小为45°。(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD。理由如下:连接AC交BD于点O,连接EO,如图12。由△AOB∽△COD,且CD=2AB,得CO=2AO,所以PE∶EC=AO∶CO=1∶2,则PA∥EO。又PA⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD。又EO⊂平面EBD,平面ABCD∩平面EBD=BD,所以平面EBD⊥平面ABCD。图12点拨:要证明面面垂直,就要在平面EBD中寻找平面ABCD的垂线,因为PA⊥平面ABCD,所以要在平面PAC内过E点作PA的平行线,利用△AOB∽△COD,得到等比例,从而PA∥EO,结论得证。