翻折多变化，动态显身手——立体几何中的翻折问题

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翻折多变化，动态显身手——立体几何中的翻折问题立体几何中的翻折问题是高考试卷中的一类创新题型,借助平面图形的翻折变成空间图形,进而借助平面图形的数量、位置等“变”与“不变”之间的联系,合理构建空间图形中的相关元素间的数量、位置关系,进而来解决一些相关的立体几何问题。此类问题能很好地考查同学们各方面的能力与素养。一、线段长度问题例1如图1,在平面四边形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=2,AD=1。如图2,将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置,使得平面SAB⊥平面ABCD。图1图2(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l,求证:BC⊥l;(2)点Q在线段SC上(点Q不与端点重合),平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为,求线段BQ的长。解析:(1)依题意,AD⊥AB,因为PD∥BC,所以BC⊥AB。由于平面SAB⊥平面ABCD,且交线为AB,又BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面SAB。因为l是平面SDC与平面SAB的交线,所以l⊂平面SAB,故BC⊥l。(2)由(1)可知,AD⊥平面SAB,所以AD⊥SA,由题意可知SA⊥AB,AD⊥AB。以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图3所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),可得=(1,-2,0),=(2,2,-2)。

1图3二、空间角问题1.线面角例2如图4,在四边形ABCD中,AB=AD=,BC=CD=4,且AB⊥AD。如图5,将△BCD沿着BD翻折,当三棱锥C-ABD的体积最大时。图4图5(1)求此时三棱锥C-ABD的体积;(2)求此时直线AD与平面ABC的夹角的正弦值。解析:(1)在△BCD沿BD翻折的过程中,当平面ABD⊥平面BCD时,三棱锥C-ABD的体积最大。由平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,取BD的中点O,连接AO,则AO⊥BD,所以AO⊥平面BCD。又AB=AD=2,BC=CD=4,AB⊥AD,故BD=4,所以△BCD为正三角形。在△BCD中,BD边上的高为2,则(V三棱锥C-ABD)max=

2图62.二面角例3如图7,四边形ABCD是等腰梯形,DC∥AB,DC=2,AB=4,∠ABC=60°,过D点作DE⊥AB,垂足为E。如图8,将△AED沿DE折到△A′ED的位置,且A′C=2。图7图8(1)证明:平面A′ED⊥平面EBCD;

3图9三、空间距离问题例4如图10,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,∠ABC=60°。如图11,将△ACD沿着AC翻折,使得点D翻折到点P的位置,且AP⊥BC。图10图11(1)求证:平面APC⊥平面ABC;(2)求点C到平面APB的距离。解析:(1)在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC。而BC⊥AP,AP∩AC=A,所以BC⊥平面APC。又BC⊂平面ABC,所以平面APC⊥平面ABC。

4立体几何中的翻折问题,看似背景简单,其实内涵深远,在很大程度上优化并改善同学们对立体几何的思维定式,合理构建空间立体几何直观图,使得静态数学动态化,让平面图形“立”起来,提升空间想象能力,优化数学思维品质。