2018高考一轮数学（江苏版：17-18版）（教师用书+练习）第9章 第41课 直线、平面垂直的判定及其性质

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1、第41课直线、平面垂直的判定及其性质[最新考纲]内容要求ABC直线与平面垂直的判定及性质√两平面垂直的判定及性质√1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言21判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在

2、一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　)(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．(2017·南京模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：(1)若l⊥α，m⊂α，则l⊥m；(2)若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)

3、若l∥α，m⊂α，则l∥m；(4)若l∥α，m∥α，则l∥m，则其中正确的命题是____________．(填序号)(1)(2)　[∵l⊥α，m⊂a，∴l⊥m，故(1)正确；若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故(2)正确；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行也可能垂直，故(3)错误；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故(4)错误．]3．如图411，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．21图4114　[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三

4、角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.∴△ABC，△PBC也是直角三角形．]4．(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____________心．(1)外心　(2)垂心　[∵PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．(2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，又PO⊥BC∴BC⊥平面PAO∴AO⊥BC，

5、同理BO⊥AC，CO⊥AB，∴O是△ABC的垂心．]5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．a　[如图所示，取BD的中点O，连结A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．21即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]线面垂直的判定与性质　如图412所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.图412求证：PA⊥CD.【导学号：62172224】[证明]　因为AB为圆O的直径，所以

6、AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.[规律方法]　1.证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．212．证明线面垂直的核心是证线线垂

7、直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．[变式训练1]　如图413，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.图413(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．[解]　(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝.因为M