一道平面几何题的十种证法

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1、一道平面几何题的十种证法　题目：如图1，△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，过D作DE∥BC，交AC于E，过F作FG∥BC交AC于G．求证：BC=DE＋FG．分析：证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移：（1）延长较短线段与较长线段相等；（2）在较长线段上截取与较短线段相等的线段；（3）将线段适当移动位置后进行比较；（4）采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等．一、延长较短线段与较长线段相等解法1如图2，延长FG到H，使FH等于BC，连结CH．（关键证GH=DE即可）．由作法知FH平行且等于BCFBCH是平行四边形CH=BF．在△ADE和△CHG中，CH=B

2、F=AD．由CH∥AB∠A=∠2，又∠1=∠B，∠H=∠B，所以∠1=∠H．∴△ADE≌△CHG，则DE=GH，故BC=FG＋GH=DE＋FG．证法2如图3，仍延长FG到H，使GH=DE，连结CH．（关键证BC=FH）．由DE∥BC∥FG∠1=∠2=∠3．又AD=FB，所以AE=GC．∴△ADE≌△CHG，（SAS）∴∠A=∠GCHAB∥CH．∴四边形FBCH是平行四边形，所以，BC=FH，∴BC=DE＋FG．证法3如图4，延长DE到H，使DH=BC，连结CH．（关键证FG=EH）．由DBCH及DH=BC．再△AFG≌△CHE，得FG=EH．二、恰当地将线段平移证法4如图5找EG的中点K，连

3、接DK并延长DK交FG的延长线于H，可证得△DEK≌△HGKDE=GH．再证得△ADE≌△CHG，（或证△ADK≌△CHK）∠A=∠GCH∴BC=GH＋FG=DE＋FG．证法5如图6．过D作DH∥AC交BC于H，则DE=HC．不难证得△AFG≌△DBH，可得FG=BH，∴BC＝BH＋HC＝DE＋FG．证法6如图7过F作FH∥AC交BC于H（或在BC上截取CH=FG）．三、在较长的线段上截取较短的线段证法7如图8在BC上截取BH=DE．不难得出△ADE≌△FBH．则∠1=∠2=∠3FH∥ACFG=HC．（同理可在BC上截取BH=FG．再证HC=DE）四、利用梯形或三角形的中位线定理题中要证的结

4、论系三角形的底边BC等于梯形DFGE两底之和，可猜想通过梯形DFGE的中位线沟通两者之间的关系．证法8如图9．又AD=FB，由平行截割定理得MN也是△ABC的中位线，五、利用相似三角形的性质和比例的性质题中要证的边实质是相似三角形的对应边，因此，可从相似三角形的对应边成比例和比例的基本性质入手证明．证法9如图1．又AD=BF，所以，AD＋AF=AD＋DB=AB．即BC=DF＋FG．六、其它线段变换证法10如图10．作AH⊥DE于H，作FP⊥BC于P，作GQ⊥BC于Q．易证△ADH≌△FBP，△AHE≌△GQC．DH＋HE=BP＋QC，又FG=PQ．则BC=PQ＋BP＋QC＝FG＋DH＋HE，

5、即BC=DE＋FG．