高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（4.2）word学案

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1、www.ks5u.com2．4.2　抛物线的几何性质[学习目标]　1.掌握抛物线的几何性质.2.会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．[知识链接]类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率．怎样用方程验证？答：(1)范围：x≥0，y∈R；(2)对称性：抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称；(3)顶点：抛物线的顶点是坐标原点；(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率．用e表示，由定义可知e＝1.[预习导引]1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0

2、)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝12.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋，BF＝x2＋，故AB＝x1＋x2＋p.3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；

3、当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.要点一　抛物线的几何性质例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.

4、规律方法　(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪演练1　已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．解　因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.要点二　抛物线的焦点弦问题例2　已

5、知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.解　设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，∴直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴P1P2＝＝.规律方法　(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为

6、端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪演练2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝，又F(，0)．所以直线l的方程为y＝(x－)．联立消去y得x2－5x＋＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.所以AB＝5＋3＝8.(2)设A(

7、x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.要点三　直线与抛物线的位置关系例3　已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解　由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组(*)可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.把y＝1代入y2＝4x，

8、得x＝.这时，直线l与抛