高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（6.2）word学案

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1、www.ks5u.com2．6.2　求曲线的方程[学习目标]　1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．[知识链接]求曲线方程要“建立适当的坐标系”，这句话怎样理解．答：坐标系选取的适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，否则，如果坐标系选取不当，则会增加运算的烦杂程度．[预习导引]1．平面解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．(2)通过方程，研究平面曲线的性质．2．求曲线(图形)的方程一般有下面几个步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．

2、(2)写出适合条件P的点M的集合P＝{M

3、P(M)}．(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．要点一　直接法求曲线方程例1　已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．解　如图所示，取直线l为x轴，过点F且垂直于直线l的直线为y轴，建立坐标系xOy.设点M(x，y

4、)是曲线上任意一点，作MB⊥x轴，垂足为B，那么点M属于集合P＝{M

5、MF－MB＝2}．由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为－y＝2，①将①式移项后两边平方，得x2＋(y－2)2＝(y＋2)2，化简得y＝x2.因为曲线在x轴的上方，所以y>0.虽然原点O的坐标(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应是y＝x2(x≠0)．规律方法　直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M

6、p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是

7、说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．跟踪演练1　已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．解　如图，设C(x，y)，则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．∵C为直角，∴⊥，即·＝0.∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.化简得x2＋y2＝1.∵A、B、C三点要构成三角形，∴A、B、C不共线，∴y≠0，∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．要点二　定义法求曲线方程例2　已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．解　如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点

8、，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为(，0)．∵∠OPC＝90°，∴动点P在以点M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，由圆的方程得(x－)2＋y2＝(0

9、线方程例3　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．解　设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点．∴　即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1，即2＋y2＝.∴P点的轨迹方程为2＋y2＝.规律方法　代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得所求动点P的轨迹方程．跟踪演练3

10、　已知圆C：x2＋(y－3)2＝9.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．解　方法一(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得OQ2＋QC2＝OC2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以x2＋2＝(x≠0)．方法二(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(x≠0)．方法三(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得　即又因为P点在圆C上，所以x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋4(y－)2＝9，即x2＋(y－)2＝(x

11、≠0)．1