高中数学 1.2.1 任意角的三角函数(二)学案 新人教a版必修4

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1、1.2.1任意角的三角函数【学习要求】1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.【学法指导】1.三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.2.三角函数线是有向线段,字母顺序不能随意调换,正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同,向上为正,向下为负;余弦线的正向与x轴的正向一致,向右为正,向左为负;当角α的终边与x轴重合时,正弦

2、线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在.1.三角函数的定义域正弦函数y=sinx的定义域是__;余弦函数y=cosx的定义域是__;正切函数y=tanx的定义域是_______.2.三角函数线如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于P点.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sinα=,cosα=,tanα=.探究点一 三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐

3、标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y=sinx的定义域是__;余弦函数y=cosx的定义域是__;正切函数y=tanx的定义域是____________________________.在此基础上,可以求一些简单的三角函数的定义域.例如:(1)函数y=sinx+tanx的定义域为________________.答案 {x

4、x∈R且x≠kπ+,k∈Z}(2)函数y=的定义域为________________.答案 {x

5、2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}(3)函数y=lgcosx的定义域为______________

6、__.答案 {x

7、2kπ-

8、的一种“形”的补充,线段的长度表示了三角函数绝对值的大小,线段的方向表示了三角函数值的正负.仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律,回答下列问题.问题1 若α为任意角,根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得:sinα的范围是;cosα的范围是.问题2 若α为第一象限角,证明sinα+cosα>1.证明 设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,则sinα=MP,cosα=OM,OP=1.在Rt△OMP中,由两边之和大于第三边得MP+OM>OP,即sinα+cosα>1.问题3 若α为任意角,根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α+co

9、s2α与1的关系.解 当α的终边落在x轴上时,sinα=0,

10、cosα

11、=1,sin2α+cos2α=1;当α的终边落在y轴上时,

12、sinα

13、=1,cosα=0,sin2α+cos2α=1;当α的终边不落在坐标轴上时,sinα=MP,cosα=OM.在Rt△OMP中,

14、MP

15、2+

16、OM

17、2=

18、OP

19、2=1.∴sin2α+cos2α=1.综上所述,对于任意角α,都有sin2α+cos2α=1.【典型例题】例1 在单位圆中画出满足sinα=的角α的终边,并求角α的取值集合.解 已知角α的正弦值,可知MP=,则P点纵坐标为.所以在y轴上取点.过这点作x轴的平行线,交单

20、位圆于P1,P2两点,则OP1,OP2是角α的终边,因而角α的集合为{α

21、α=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z}.小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时,要确定已知角的终边,再画线,同时要分清所画线的方向,对于以后研究三角函数很有用处.跟踪训练1 根据下列三角函数值,作角α的终边,然后求角的取值集合:(1)cosα=;(2)tanα=-1.解 (1)因为角α的余弦值为,所以OM=,则在x轴上取点,过该点作x轴的垂线,交单位圆于P1、P2两点,OP1,OP2是所求角α的终边,α的取值集合为:{α

22、α=2kπ±,k∈Z}.(2)因为角α的正切值等于-1,所以AT=-

23、1,在单位圆上过点A(1

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