高中数学 1.2.1 任意角的三角函数（一）学案 新人教a版必修4

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1、1.2.1任意角的三角函数【学习要求】1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．2．借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．3．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．【学法指导】1．在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念．2．紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆．3．理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键.1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单

2、位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的，记作，即；②x叫做α的，记作，即；③叫做α的，记作，即．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值，即：sin(α＋k·2π)＝，cos(α＋k·2π)＝，tan(α＋k·2π)＝，其中k∈Z.探究点一　锐角三角函数的定义问题1　Rt△ABC中，∠

3、C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值．答　sinA＝cosB＝＝；sinB＝cosA＝＝；tanA＝＝；tanB＝＝.问题2　如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？答　sinα＝，cosα＝，tanα＝.问题3　如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝，cosα＝，tanα＝.探究

4、点二　任意角三角函数的概念关于任意角三角函数的定义，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．根据相似三角形对应边成比例．可知这两种定义方法本质上是一致的．问题1　单位圆定义法：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．问题2　终边定义法：设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则有sinα＝___，cosα＝___，tanα＝___(x≠0)，其中r＝>0.问题3　由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即

5、一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上P点的位置无关．请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的．证明　设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.设P′(x′，y′)为角α上任意一点，且P′与P不重合，过点P′作P′M′⊥x轴，垂足为M′.则易知Rt△OMP∽Rt△OM′P′.于是＝，＝，＝.∴＝＝y，＝＝－x，＝.∴＝y，＝x，＝.(其中r＝>0)即sinα＝＝y，cosα＝＝x，tanα＝＝.故任意角三角函数与角α终边上点P的位置无关，上述两种定义是一致的．问题

6、4　利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.角α0πsinα010－1cosα10－－－－10tanα01无－－1－0无解　以α＝为例，其余略．设P(x，y)为α＝上任一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上．∴x＝0，y<0，r＝＝－y>0.∴sin＝＝－1；cos＝＝0；tan＝，无意义．探究点三　三角函数值在各象限的符号三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．(1)sinα＝(r>0)，因此sinα的符号与y的符号相同，当α的终边在第象限时，sinα>0；当α的终边在第象限时，sinα<0.(2)cosα＝(r>0)，因此cosα的符号与x的符号相

7、同，当α的终边在第象限时，cosα>0；当α的终边在第象限时，cosα<0.(3)tanα＝，因此tanα的符号由x、y确定，当α终边在第象限时，xy>0，tanα>0；当α终边在第象限时，xy<0，tanα<0.三角函数值在各象限内的符号，如图所示：三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．探究点四　诱导公式一由任意角的三角函数的定义可以