第九讲 几何图形的归纳、猜想问题(含答案).doc

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1、中考数学重难点专题讲座第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题【前言】实行新课标以来,中考加大了对考生归纳,总结,猜想这方面能力的考察,但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察,所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题,已经展现出了这种趋势。09年的一模,二模也只是较少的区县出了这种归纳题,然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模,这种有关几何的归纳,猜想问题铺天盖地而来,这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映,这种问题一般较难,得分率很低,经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说,思

2、考的方法是最重要的,所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例1】2010,海淀,一模如图,+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,设的面积为,的面积为,…,的面积为,则=;=____(用含的式子表示).【思路分析】拿到这种题型,第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好,将阴影部分标出,不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底边是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的.所以边长的比例就是与的比值.于是.接下来通过总结,我们

3、发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为(连接上面所有的B点,将阴影部分放在反过来的等边三角形中看)。那么既然是求面积,高相等,剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的,于是自然可以得出自然是所在边上的n+1等分点.例如就是的一个三等分点.于是(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)【例2】2010,西城,一模在平面直角坐标系中,我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形,如图,菱形的四个顶点坐标分别是,,,,则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个;若菱形的四个顶点坐标分别为,,,(为正整数

4、),则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________(用含有的式子表示).【思路分析】此题方法比较多,例如第一空直接数格子都可以数出是48(笑)。这里笔者提供一种方法,其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数,所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数,再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过(-2n,0)(0,n),自然可以写出直线解析式为,斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全等的,

5、面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是,所有n个空白小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是.【例3】2010,平谷,一模如图,,过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交,得到并标出一组黑色梯形,它们的面积分别为.则第一个黑色梯形的面积;观察图中的规律,第(为正整数)个黑色梯形的面积.【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形,而因为,所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1,下底是3,所以.第二个梯形面积,

6、第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.【例4】2010,丰台,一模在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有   个.【思路分析】此题看似麻烦,但是只要把握住“正方形”这个关键就

7、可以了。对于来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1,所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个.【例5】2010,宣武,一模如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,取斜边的中点,向斜边做垂线,画出一个新的等腰直角三角形,如此继续下去,直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止,此时这个三角形的斜边长为_____.【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度,并且直角边都是上一

8、个三角形直角边的一半。绕一圈是360度,包涵了8个4

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