平面法向量在立体几何中的初步应用文本资料

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1、平面法向量在立体几何中的初步应用潘继军《全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）·数学》第二册（下B）中仅给出了平面法向量的定义，法向量的应用在教材中没有做进一步拓展。笔者认为，法向量是值得我们挖掘的一个问题，在求点到平面的距离，直线与平面所成角以及二面角时，如果能以平面法向量为载体，往往可以收到化难为易的效果，而且还可以使整个解题过程转化为程序化的向量运算，简捷方便，能减轻学生空间想象之困难。本文就平面法向量在立体几何中的初步应用谈一点体会。一、以平面法向量为载体，求点到平面的距离图1例1　（2003年全国高考文科试题）已知正四棱柱ABCD－，AB＝1，＝2，点E为中点，求点到平面B

2、DE的距离。解：建立空间直角坐标系D－xyz（图2），则D（0，0，0），B（1，1，0），D（0，0，2），E（0，1，1）。设平面DBE的法向量为η＝（x，y，z）。图2∴　η＝（x，－x，x）。不妨令x＝1，则η＝（1，－1，1）。二、以平面法向量为载体，求直线与平面所成的角例2　（1995年理科高考试题）如图3，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角。建立空间直角坐标系A－xyz（图3），则E（r，r，0），D（0，0，2r），H（0，r，0）。图3   三、以平面法向量为载体，求二面角图4图5

3、　∴＝（2，－，），＝（，0，0）。令＝1，＝1，则＝（2，－1，1），＝（1，0，0）。例4（2002年理科高考试题）如图6，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜2）。图6∴＝（，，）。令＝1，则＝（1，1，1）。同理＝-，－，－）。令＝1，则＝（1，－1，－1）。∴·＝1－1－1＝－1，｜｜·｜｜＝3。四、以法向量为载体，判断两个平面互相垂直（转化为求两个平面法向量的数量积等于0）例5（1997年全国高考试题）如图7，在正方体ABCD－中，E、F分别是、CD的中点，证明面AED⊥面。∴＝

4、（0，，－2），＝（0，2，），令＝1，＝1，则＝（0，1，－2），＝（0，2，1），∴·＝0＋1×2＋（－2）×1＝0．∴⊥，即面AED⊥面。