2003年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第2试

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1、2003年宁波市至诚杯初二数学竞赛试卷第2试(考试时间：2003年12月28日9:30一一11:30)一、选择题（每小题6分，共30分）1．如图，三个图形的周长相等，则（）（A）（B）（C）（D）2．已知，那么的值等于（）（A）（B）（C）（D）3．若关于的方程有三个整数解，则的值是（）（A）0（B）1（C）2（D）34．与是的角平分线，分别在上，若，则（）（A）690（B）（C）（D）不能确定5．已知正数满足，（）（A）1（B）3（C）5（D）不能确定二、填空题（每小题6分，共30分）6．如图，三角形数表第82

2、行的第3个数是______________________.7.如图,16×9的矩形分成四块后可拼成一个正方形,该正方形的周长为_________.8.已知是正整数,且,则______________________________.9.今天是星期日,若明天是第一天,则第天是星期__________________.10.在2×2的正方形表中填入4个不同的非零平方数,使每一行、每一列的和都是平方数。（注：平方数是指一个整数的平方）三、解答题（每小题20分，共60分）11．数学集训队教练要将一份资料复印给23名队员

3、，校内复印店规定300页以内每页1角5分，超过部分每页1角，这23份资料一起复印的费用正好是单份复印时的20倍，问这份复印资料共有几页？12．在中，是上一点，M是CD的中点，若，求证：。13．平面上给定3个点，证明：可以作出4个同心圆，使（Ⅰ）这4个圆的半径都是其中最小圆半径的整数倍；（Ⅱ）这4个圆所成的3个圆环中，每个含有一个已知点。2003年宁波市至诚杯初二数学竞赛参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共30分）1．A2.D3.B4.C5.B二、填空题（每小题6分，共30分）6.65647.488.(1,

4、1,2,3,3)或(1,1,1,1,2,4)（对一个给3分）9.一10.152202362482（注意：答案不唯一）二、解答题（每小题20分，共60分）11．解：设这份资料共A页，单份复印费为P1，23份复印费为P2，则P2=2OP1。Ⅰ）A＞300P1=300×15+（A－300）×10=10A+1500P2=300×15+（23A－300）×10=230A+1500=20P1=20（10A+1500）-------------------5`∴30A=19×1500,∴A=19×50=950Ⅱ）A≤300，2

5、3A＞300P1=15AP2=300×15+（23A－300）×10=230A+1500=20P1=20×15A∴70A=1500，无解。Ⅲ）23A≤300，P2=15×23A=23P1＞20P1，无解。∴A=95012．证明过A作CD的平行线，交BC的延长线于P,连AP，交BM的延长线于N,则∵CM=MD，∴PN=NA，∵∠PCA=900，∴CN=PN=NA。∴∠ACM=∠CAN=∠NCA，∴∠NCM=2∠ACM（1）∵∠MAN=∠AMD=∠BMD=∠MNA∴MA=MN∵MD=MC，MA=MN，∠AMD=∠BM

6、D=∠NMC，∴ΔMAD≌ΔMNC∴∠MDA=∠MCN（2）由（1）与（2）得∠CDA=2∠ACD13.解：连接两个已知点的线段有3条，作它们的垂直平分线，在这些垂直平分线及已知外，任取一点O为圆心。设O到这3个已知的距离为d1,d2,d3,则它们两两不等且都大于0。不妨假设0＜d1＜d2＜d3，则存在有理数r1，r2，r3，使得d1＜r1＜d2＜r2＜d3＜r3，将它们通分得r1=P1/M，r2=P2/M，r3=P3/M，这里M是它们分母的公倍数。我们可以区M足够大，使1/M＜d1，令r0=1/M，则以r0，r

7、1，r2，r3为半径的同心圆满足所有的要求.