热点探究课2　三角函数与解三角形中的高考热点问题导学案

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1、热点探究课(二)　三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图像与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1　三角函数的图像与性质(答题模板)要进行五点法作图、图像变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的

2、一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．　(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.【导学号：57962187】[思路点拨]　1.先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期．2．先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答]　(1)f(x)＝2sin·cos

3、－sin(x＋π)3分＝cosx＋sinx＝2sin，5分于是T＝＝2π.6分(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.8分∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，10分∴g(x)＝2sin∈[－1,2].11分故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.12分[答题模板]　解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为：第一步(化简)：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式．第二步(用辅助角公式)：构造f(x)＝·.第三步(求性质)：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示

4、]　1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图像进行求解．[对点训练1]　(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解]　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正

5、周期为2，知＝2，ω＝π.2分又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，4分所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.5分(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z).7分由≤k＋≤，解得≤k≤，9分又k∈Z，知k＝5，10分由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.12分热点2　解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用

6、，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．　(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．[解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.2分因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得＝＝.5分(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.7分在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝A

7、D2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.9分故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.12分[规律方法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2]　(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小；(2)求cosA＋

8、cosC的