第三讲导数的简单应用

《第三讲导数的简单应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第三讲　导数的简单应用[必记公式]1．基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝logae＝f(x)＝lnxf′(x)＝　　2.导数四则运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

2、；(3)′＝(g(x)≠0)；(4)若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝a·yu′.[重要概念]1．切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0(f′(x)<0)，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增(单调递减)．3．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)

3、么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．4．函数的最值将函数y＝f(x)在[a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[重要性质]1．定积分的性质(1)kf(x)dx＝kf(x)dx；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

4、x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．[失分警示]1．对复合函数求导法则用错．2．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．3．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．4．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．考点　导数的几何意义及定积分　　典例示法题型1　导数的几何意义典例1　　[2015·陕西高考]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)

5、上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．[解析]　y′＝ex，则y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k切＝1，又曲线y＝(x>0)上点P处的切线与y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，所以y＝(x>0)在点P处的切线的斜率为－1，设P(a，b)，则曲线y＝(x>0)上点P处的切线的斜率为y′

6、x＝a＝－a－2＝－1，可得a＝1，又P(a，b)在y＝上，所以b＝1，故P(1,1)．[答案]　(1,1)题型2　定积分的计算典例2　　[2014·湖北高考]若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交

7、函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是(　　)A．0B．1C．2D．3[解析]　对于①，dx＝sinxdx＝sinxdx＝＝{－cos1－[－cos(－1)]}＝(－cos1＋cos1)＝0.故①为一组正交函数；对于②，[(x＋1)(x－1)]dx＝(x2－1)dx＝＝－1－＝－2＝－≠0，故②不是一组正交函数；对于③，(x·x2)dx＝x3dx＝＝0.故③为一组正交函数，故选C.[答案]　C1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三

8、种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、

9、切线斜率之间的关系构建方