资源描述：
《常微分方程数值解法课程设计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、课程设计报告课程设计题目：常微分方程数值解法学生姓名:专业：班级：指导教师：时间：题目：常微分方程数值解法用欧拉方法、改进欧拉方法、3阶龙格－库塔法以及4阶龙格－库塔法求解常微分方程初值问题：一、摘要在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合龙格－库塔法的理论基础对常微分方程初值问题进行求解，在运行完程序后以及对运行结果做出各方面的分析和比较。二、设计目的用熟悉的计算机语言编程上机完成用欧拉方法、改进欧拉方法、3阶龙格－库塔法以及4阶龙格－库塔法求解常微分方程初值问题。二、理论基础1.欧拉公式【3】在点将作Taylor展开，得，那么当h充分小时，略去误差项，用近似替
2、代、近似替代，并注意到，便得上述方法称为Euler方法。2.改进Euler方法【3】在应用梯形方法的迭代公式进行运算时，每迭代一次都要重新计算函数的值，且还要判断何时可以终止或转下一步计算。为了控制计算量和简化算法，通常只迭代一次就转入下一步计算。具体说，我们先用Euler公式求得一个初步的近似值，称之为预测值，然后用梯形方法的迭代公式作一次迭代得，即将校正一次，这样建立的预测-校正方法称之为改进的Euler方法：预测：，校正：.3.三阶龙格-库塔方法【3】类似前面改进的Euler方法公式的推导方法，将在处作Taylor展开，然后再将在处作Taylor展开，只要将两个展开式
3、前四项相同便有。于是得到三阶龙格-库塔公式为：4.四阶龙格-库塔方法【3】类似前面三阶龙格-库塔的推导方法，如果每步计算四次函数f（x，y）的值，完全类似的，可以导出局部截断误差为的四阶龙格-库塔公式，其公式为：三、程序代码及运算结果用欧拉方法、改进欧拉方法、3阶龙格－库塔法以及4阶龙格－库塔法求解常微分方程初值问题：1.求精确解首先可以求得其精确解为：y=exp(-cos(x))>>x=0:0.05:1;>>y=exp(-cos(x));>>plot(x,y,'b*-');>>Data=[x',y']Data=00.36790.05000.36830.10000.3697
4、0.15000.37200.20000.37530.25000.37950.30000.38470.35000.39090.40000.39810.45000.40640.50000.41580.55000.42630.60000.43810.65000.45110.70000.46540.75000.48110.80000.49820.85000.51690.90000.53710.95000.55901.00000.5826图1精确解2、用欧拉法求解程序如下：建立函数文件cwfa1.mfunction[x,y]=cwfa1(fun,x_span,y0,h)x=x_spa
5、n(1):h:x_span(2);y(1)=y0;forn=1:length(x)-1y(n+1)=y(n)+h*feval(fun,x(n),y(n));endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>>clearall>>fun=inline('y*sinx');>>[x,y]=cwfa1(fun,[0,1],exp(-1),0.05);>>[x,y]>>plot(x,y,'r+-')ans=00.36790.05000.36790.10000.36880.15000.37060.20000.37340.25000.37720.30000.38190.35000
6、.38760.40000.39440.45000.40230.50000.41130.55000.42160.60000.43320.65000.44620.70000.46070.75000.47680.80000.49470.85000.51450.90000.53640.95000.56051.00000.5871结果及其图象：图2欧拉解3、用改进欧拉法求解：程序如下：建立函数文件cwfa2.mfunction[x,y]=cwfa2(fun,x_span,y0,h)x=x_span(1):h:x_span(2);y(1)=y0;forn=1:length(x)-1k1
7、=feval(fun,x(n),y(n));y(n+1)=y(n)+h*k1;k2=feval(fun,x(n+1),y(n+1));y(n+1)=y(n)+h*(k1+k2)/2;endx=x';y=y';在MATLAB输入以下程序：>>clearall>>fun=inline('y*sinx');>>[x,y]=cwfa2(fun,[0,1],exp(-1),0.05);>>[x,y]>>plot(x,y,'r+-')ans=00.36790.05000.36830.10000.36970.15000.3720
