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时间:2018-04-24
《12 动量矩定理 theorem of angular momentum》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、TheoremofAngularMomentum动量矩定理z§1动量矩的概念FB一、质点的动量矩AMF()回顾:力对点的矩omrMFo()rFoy若rxiyjzkxFFiFjFkxyz则大小:MFo()2SOABijkMF()xyz方向:按右手螺旋规则定。oFFFxyz(yFzFi)(zFxFj)(xFyFk)Zyxzyxz质点A的动量对固定点O的矩:BFmvM()mmvrvoijkMv()moAxyzroyB'mvmvmvxyzxA'mvxy大小=mv·rsin=2S动量对固定轴z的矩:△OAB方位:过O且⊥△OAB;M(mv)
2、Mm(v)ozz指向:按右手螺旋规则定。2SOAB结论:•质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。M()mmvrv矢量o•质点的动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩定义为质点对于z轴的动量矩。•质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影,等于质点对z轴的动量矩,即Mo(mv)zMmz(v)代数量•动量矩的量刚为ML2T-1(kg·m2/S)二、质点系的动量矩质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和(即质点系动量对点O的主矩):n矢量对定点LmoMvo()iii1质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一轴z的动量矩的代数
3、和,即n代数量对定轴LzMmz()iivi1例12-1已知均质杆质量为m,长为l,绕z轴以匀角速度ω作圆锥摆动,圆锥顶角为2。求该杆对z轴的动量矩。解:沿杆轴线取坐标轴x。mz则微元体mxidvxisinlOlLmvxsinzii0xlmrdxxsinxsini0ldxmivl2imsin2xxd0l122得Lmlsinzx3解毕。质点系的动量矩矢L在直角坐标系Oxyz中o的投影为:LoxLxMmx()vLoyLyMmy()vLozLzMmz()v即质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的
4、轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。问题:•质点系的动量pmmiivvC•质点系的动量矩LOMOmvC?例1已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球,系统绕水平O轴以角速度ω转动,求系统对O轴的动量矩。vA=·lOABvllB=·l2系统对O轴的动量矩为:Lmllmll2mlo从本例可以知道,系统质心的速度虽然为零,系统对O轴的动量矩并不等于零。计算质点系的动量矩不能简单地用质心的动量对某固定点或固定轴取矩。例2已知均质杆m,l,ω,则杆的动量为Op=mv=mωl/2Cωω杆对O轴的动量矩为vvCCLO=MO(mvC)?CC=(mωl/2)·(l/2
5、)=mωl2/4A如何计算OA杆对O轴的动量矩?按照定轴转动刚体的动量矩计算方法。特例:定轴转动刚体的动量矩znnLzMmz()iivmvriiii1i1nnmv2iimirriimriii1i1rinmi令2mriiJzωi1∴Lz=Jz刚体对z轴的转动惯量结论•绕定轴转动刚体对其转轴的转动惯量为n2Jzmriii1(单位:Kg·m2)•绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。L=Jzz§2动量矩定理一、质点的动量矩定理zBFmv设质点质量为m,受力F,MvO()m动量mv,定坐标系Oxyz,A根据质点的
6、动量定理rdMFO()oy()mvFdt等式两边同时与矢径r作矢量积,xd即r()mvrFdtMF()O?d为求等式r()mvrF左边项,先来看dtv(∵O为定点!)dddr()rvmmmvr()vdtddttdvmmvr()vMv()mOdt=0d()rmvrFdt即d质点对定点的M(mv)MF()dtoo动量矩定理质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩d对时间的一阶导数,等于MOO(mv)M()Fdt作用力对同一点的矩。将上式向直角坐标轴投影,并利用对点的动量矩与对轴的动量矩的关系,可得dMm(vF)M()xx质点对某轴的动量矩d
7、t对时间的一阶导数,等于dMm(vF)M()yy作用力对于同一轴的矩。dtdMm(vF)M()zzdt关于质点动量矩守恒•当MF()0时,有MvO()m常矢量。O质点对定点的动量矩守恒•当Mz()0F时,有Mmz()v常量。质点对定轴的动量矩守恒思考题:小球系于线的一端,线穿过铅直小孔,力F将线缓慢向下拉。开始时,小球以匀速v沿半径为r的圆周运动,求当小11球被拉至B处(2r=r)时的速度v。212z解:分析小球受力。∵M()0F
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