高中数学选修1-1(文)第二章_圆锥曲线与方程_例题与练习

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1、www.canpoint.cn第二章圆锥曲线与方程知识体系总览圆锥曲线的截取（章导言）圆锥曲线的几何特征（2.1.1阅读材料）圆锥曲线的轨迹定义圆锥曲线的标准方程曲线的几何性质曲线的模型应用坐标法§2.1椭圆知识梳理1、椭圆及其标准方程（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于

2、

3、这个条件不可忽视.若这个距离之和小于

4、

5、，则这样的点不存在；若距离之和等于

6、

7、，则动点的轨迹是线段.（2）.椭圆的标准方程：（＞＞0）（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.2

8、、椭圆的简单几何性质（＞＞0）.（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程,线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，(2).离心率：0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.(3)椭圆的焦半径：，.=+(4).椭圆的的内外部点在椭圆的内部(5).焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立、等关系．面积公式：www.canpoint.cn010-canpoint@188.com第33页共33页www.canpoint.cn§2.1.1椭圆及其标准方程典例剖析题型一椭圆的定义应用3：评析：

9、点在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点椭圆的定义，二是点满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义题型二椭圆标准方程的求法4：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程解法1因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义可知：又所以所求的标准方程为解法2，所以可设所求的方程为，将点代人解得：所以所求的标准方程为评析求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来然后结合条件建立所满足的等式，求得的值，再代人方程5设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2

10、作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2www.canpoint.cn010-canpoint@188.com第33页共33页www.canpoint.cn为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A．B．C．D．分析利用椭圆的几何性质和定义解一设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．解二∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴.∵，∴，∴．故选D．评析解法一中的是椭圆的通径，它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的一条题型备选题例3：椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a,0),B(0,b)的直线的距离等于，求该椭圆的离心率.解本题条件不易用平面几何知识转化，因而

11、过A、B的方程为，左焦点F(-c,0)，则，化简，得5a2-14ac+8c2=0得或（舍），评析：应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线(a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e的范围限制，即a>b>0,∴a2>b2,∴a2>c2-a2从而.6．设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，则____．解：设，则中点，得，www.canpoint.cn010-canpoint@188.com第33页共33页www.canpoint.cn得即三解答题12.答案：13已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方

12、程．解:由，∴椭圆的方程为：或.14椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.解：设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0又将，代入①化简得.(2)又由（1）知，∴长轴2a∈[].思悟小结1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从椭圆的标准方程读出几何性质，更要能够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题。2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。7www.canpoint.cn0

13、10-canpoint@188.com第33页共33页www.canpoint.cn评析“点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程例3．在中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求的重心的轨迹方程。MBOEyDACx解如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M为的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知，，于是==.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.2