高三数学等差数列

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1、3．3等差数列——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘一、明确复习目标1．理解等差数列的概念和性质；2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题二．建构知识网络1．定义：2．通项公式：，推广：d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率.3．前n项的和：变式：=4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c5．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)Sn,S2n

2、-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.(4)当n=2k-1为奇数时，Sn=nak；S奇=kak，S偶=(k-1)ak(ak=a中)6．等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:(3)通项法:(4)前n项和法:7．知三求二,可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:,四数8.会从函数角度理解和处理数列问题.三、双基题目练练手1.（2006全国Ⅱ）设是等差数列的前项和，若，则()（A）（B）（C）（D）2.(2006广东)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是()A5

3、B4C3D23.等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0且a11＞

4、a10

5、，Sn为其前n项和，则()A.S10小于0，S11大于0B.S19小于0，S20大于0C.S5小于0，S6大于0D.S20小于0，S21大于04.(2006天津)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、．设（），则数列的前10项和等于A．55B．70C．85D．100（　）5.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13=6.在等差数列中,已知,则n=.简答:1-4.ACBC;3.a11＞

6、a10

7、=－a10，∴a10+a11=a1+a20

8、＞0.∴S20=10（a1+a20）＞0.选B4.5.a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p.∴S13==13a7=p.6.设首项为,公差为,则四、经典例题做一做【例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.(2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和解(1),(2)分析一:方程的思想,将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程.解法一:设的首项为,公差,则分析二:运用前n项和变式:解法二:为等差数列,故可设,则解法三：方法提炼:本题是等差数列的基本计算,要求熟练准

9、确.题(1)利用了等差数列的性质和前Sn公式的特点;题(2)法一:转化为两个基本量,是重要的方法;法二利用了前n项和公式的函数式特征.【例2】数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N*）且a1≠a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列{an}是等差数列.分析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an=求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.∵a1≠a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.n≥

10、2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.∴=.则=，…，=.(n≥3)∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.(n≥3)又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数.故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.提炼拓展:证明等差数列的方法:1.由定义an-an-1=d,2.等差中项,3.通项公式an=pn+q,4.Sn=Pn2=qn例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？并求出所相同项的和。分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为

11、原来两个公差的最小公倍数。解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则∵数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。其和分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为设中的第n项与中的第m项相同，即根据题意得：从而有25个相同的项，且公差为12，其和(另法:由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1…)方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关