奇偶性与单调性例题讲解

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1、奇偶性与单调性例题讲解例1．下列函数中，与函数有相同的奇偶性的是()(A)y=

2、x+1

3、+

4、x－1

5、(B)(C)(D)分析：设，则函数f(x)的定义域为（－1，1），并且此定义域内任意x．，又f()=lg3，f()=lg，故f()≠f()．∴f(x)是奇函数而不是偶函数．而（A）中函数是偶函数（不是奇函数），（B）中函数是偶函数（也是奇函数），（C）中函数既不是奇函数，也不是偶函数，只有（D）中函数是奇函数而不是偶函数．因此，本题应选（D）．本例可看到函数按奇偶性分类的情况．还可看到，要证明f(x)（x∈F）不是偶函数

6、，只要对F中某个x0，证明f(－x0)≠f(x0)即可．例2．若函数为定义在闭区间[－1，1]上的奇函数，试确定函数f(x)的解析式．分析：确定函数f(x)的解析式，这里即确定a、b的值．依据方程的思想，只要找出二个关于a、b的制约条件，而这里的条件又只能从“f(x)是[－1，1]上的奇函数”而来．解：∵在[－1，1]上是奇函数，∴f(－x)=－f(x)对任意x∈[－1，1]成立．∴f(－1)=－f(1)，f(0)=0，即解得a=0，b=0．∴函数f(x)的解析式是．这里运用奇函数定义时，还涉及到一般与特殊的关系．还应

7、注意，一般情况下，f(0)=0是f(x)为奇函数的既非充分条件，又非必要条件．若x=0时，f(x)有意义，则f(0)=0是f(x)为奇函数的必要非充分条件．例3．利用函数单调性定义，证明函数f(x)=x+在区间上是减函数．证明：任取x1，x2，使00，x1x2>0，0

8、不等式性质的正确使用．例4．函数的单调递增区间是______________________；单调递减区间是_____________________．分析：由x2－6x+8>0，得已知函数的定义域为（－∞，2）（4，+∞）．又已知函数是由u=x2－6x+8（x<2或x>4）与（u>0）复合而成的复合函数．由于函数在（0，+∞）上是减函数；函数u=x2－6x+8（x<2或x>4）在（－∞，2）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，∴已知函数的单调递增区间（－∞，2），单调递减区间是（4，+∞）．复合函数y=f[g(x)

9、]的单调区间只能是其定义域的子区间．其单调性与u=g(x)，y=f(u)的单调性相关，其规律可列成下表：单调性u=g(x)↗↗↘↘y=f(u)↗↘↗↘y=f[g(x)]↗↘↘↗例5．已知f(x)是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x，y∈R都成立．如果当x>0时，f(x)<0．试判断函数f(x)在区间（－∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论．分析：由于本题未给出具体的函数解析式，探索其单调性只能依单调性定义进行．解：任取实数x1，x2，使x10．∵f(x)是奇

10、函数，故－f(x1)=f(－x1)．又f(x+y)=f(x)+f(y)对任意x，y∈R都成立，∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f[x2+(－x1)]=f(x2－x1)<0，即f(x2)

11、)·(log3x+1)=(log3x)2－2(log3x)－3．设log3x=t，则由≤x≤9，有－3≤t≤2．∴y=t2－2t－3=(t－1)2－4．∴当t=1，即log3x=1，x=3时，f(x)的最小值为－4；当t=－3，即log3x=－3，x=时，，f(x)的最大值为12．例7．已知a>0，b>0，且a+2b+ab=30，那么ab的最大值为_____________，此时a=__________，b=__________．分析：本题是附条件的最值问题，关键在恰当使用条件．这里条件可用作消元，也可把条件中ab表示

12、出来，再作变换．（1）∵a+2b+ab=30，∴(a+2)b=30－a．∵a+2≠0，故．∵b>0，故>0，又a>0，∴0