函数单调性奇偶性例题3

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1、［例1］判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=

2、x

3、(x2+1)(2)f(x)=(3)f(x)=(4)f(x)=选题意图：本题主要考查函数的奇偶性的概念，利用定义判断或证明函数的奇偶性的方法. 解：(1)此函数的定义域为R.∵f(-x)=

4、-x

5、［(-x)2+1］=

6、x

7、(x2+1)=f(x),∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(3)此函数的定义域为｛2｝，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)此函数的定义域为｛1，-1｝

8、，且f(x)=0,可知图象既关于原点对称、又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数.说明：用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f(-x)=±f(x)→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f(-x)±f(x)=0或=（f(x)≠０）来判断.［例2］设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞）时，f(x)=x(1+),那么当x∈(-∞，0)时，求f(x)解析式.选题意图：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性质求某区间未知解析式的方法.解：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，-x＞0.由已知f(-x)=-x(1+),-f(x)=-

9、x(1-),∴f(x)=x(1-)(x＜0，∴f(x)=说明：解决本题的关键是利用奇函数的关系式f(-x)=-f(x)成立，但要注意求给定哪个区间上的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式.［例3］已知函数f(x)为奇函数，且在(-2，2)上单调递增，且有f(2+a)+f(1-2a)＞0，求a的取值范围.选题意图：本题考查利用函数的奇偶性，单调性求解参数的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养学生的逆向思维.解：因为函数f(x)为奇函数，则f(-x)＝-f(x).由f(2+a)

10、+f(1-2a)＞0得f(2+a)＞-f(1-2a)即f(2+a)＞f(2a-1).又因为f(x)在(-2，2)上单调递增，得：解得-＜a＜0,因此，a的取值范围为a∈(-,0).说明：判断出2+a,2a-1∈（－２，２），对本题的解决起到很关键的作用，否则只考虑2+a＞２ａ－１是不够的.一般来f(x)为奇函数，由-f(1-2a)=f(2a-1)，则得到f(2+a)＞f(2a-1)得到更直接关系，应考虑到前提条件-2＜２＋ａ＜２，－２＜２ａ－１＜２，2+a＞２ａ－１取三个不等式的交集，为所求a的取值范围.