高考数学复习点拨 非线性回归问题

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1、非线性回归问题　　两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。分析非线性回归问题的具体做法是：　　（1）若问题中已给出经验公式，这时可以将变量x进行置换（换元），将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决．　　（2）若问题中没有给出经验公式，需要我们画出已知数据的散点图，通过与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图象作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决．　　下面举例说明非线性回归分析问题的解法．　　例1　在彩色显影中

2、，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式（b<0）表示，现测得实验数据如下：0.050.060.250.310.070.100.380.430.140.200.470.100.141.001.120.230.371.191.250.590.791.29　　试求y对x的回归方程．　　分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为（b<0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A和b，即可确定x与y的相关关系的曲线方程．　　解：由题意可知，对于给定的公式（b<0）两边取自然对数，得．　　与线性回归方程对照可以看出，只要取，，，就有，这是

3、v对u的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a．　　题目中所给数据由变量置换，变为如表所示的数据：0016.6674.0003.22614.28610.0002.6322.3267.1435.0002.128-2.303-1.96600.113-1.470-0.9940.1740.223-0.528-0.2360.255　　可以求得r=0.998．　　由于｜r｜=0.998>0.602，可知u与v具有很强的线性相关关系．　　再求得，，　　∴，把u和v置换回来可得，∴，　　∴回归曲线方程为．　　点评：解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化

4、为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤．　　例2　为了研究某种细菌随时间x变化的繁殖个数，收集数据如下：天数123456繁殖个数612254995190　　（1）作出这些数据的散点图；　　（2）求出y对x的回归方程．　　解析：（1）作出散点图如图1所示．　　（2）由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线（c＞0）的周围，则．　　令，则．1234561.792.483.223.894.555.25　　相应的散点图如图2．　　从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．　　由表中数据得到线性回归方程为．因此细菌的繁殖个数对温度的非线性

5、回归方程为．　　点评：通过作散点图看出，本题是一个非线性回归问题，通过变量置换转化为线性回归问题求解的．值得注意的是，本题的数据与回归曲线是拟合得相当好的，这表明确定性关系（如公式、函数关系式）和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟．由于有实验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过相关关系表现出来；反过来，在有些问题中，可以研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系．