【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第六章 第一节 不等式的概念及性质课时提能精练 理

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1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知f(x)＝x＋－2(x>0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0　　　　　　B．最小值为0C．最大值为2D．最小值为2【解析】　∵x>0，∴x＋－2≥2－2＝2－2＝0，等号成立的条件是x＝，即x＝1.【答案】　B2．若00，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3·2＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时取得等号．【答案】　

2、B3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是(　　)A．(－∞，－1]B．[3，＋∞)C．[－1,3]D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)【解析】　由题意可知x>0且x≠1，∴y＝log2x＋logx2＋1＝log2x＋＋1，当x>1时，log2x>0，∴log2x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当(log2x)2＝1，即log2x＝1，即x＝2时取得等号．当0

3、D4．(九江模拟)函数f(x)＝x2－2x＋，x∈(0,3)，则(　　)A．f(x)有最大值B．f(x)有最小值－1C．f(x)有最大值1D．f(x)有最小值1【解析】　∵x∈(0,3)，∴x－1∈(－1,2)，∴(x－1)2∈[0,4)，∴f(x)＝(x－1)2＋－1≥2－1＝2－1＝1.当且仅当(x－1)2＝，且x∈(0,3)，即x＝2时取等号，∴当x＝2时，函数f(x)有最小值1.【答案】　D5．当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，表达式3x＋27y＋1的最小值为(　　)A．3B．5C．1D．7【解析】　

4、由x＋3y－2＝0得3y＝－x＋2，∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1＝3x＋3－x＋2＋1＝3x＋＋1≥2＋1＝7.当且仅当3x＝，即3x＝3，即x＝1时取得等号．【答案】　D6．以下命题中正确的个数为(　　)①若a2＋b2＝8，则ab的最大值为4；②若a>0，b>0，且2a＋b＝4，则ab的最大值为4；③若a>0，b>0，且a＋b＝4，则＋的最小值为1；④若a>0，则的最小值为1.A．1B．2C．3D．4【解析】　由①知，a2＋b2＝8，∴ab≤＝4成立(当且仅当a＝b＝2或a＝b＝－2时，取等号)．由②知4＝2a

5、＋b≥2，∴≤2，∴ab≤2，故②不正确．由③可知，a＋b＝4，∴＋＝1.∴＋＝＝＋＋＋≥＋2＝＋＝1(当且仅当a＝b＝2时取等号)，故③正确．由④≤＝1(当且仅当a＝1时取等号)，故的最大值是1，故④不正确．故正确的有①③.【答案】　B二、填空题(每小题6分，共18分)7．设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(M)＝，则＋的最小值是________．【解析】　根据题意·＝

6、

7、·

8、

9、cos∠BAC＝2，可得

10、

11、·

12、

13、＝

14、4，所以S△ABC＝

15、

16、

17、

18、sin∠BAC＝1，则＋x＋y＝1，即x＋y＝，所以＋＝2(x＋y)·＝2≥2×(5＋4)＝18.【答案】　188．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小.1＝，则这两个数分别是________．【解析】　设＋＝1，a，b∈N*，则a＝，∴a＋b＝＋b，b＞9时，a＋b＝＋b－9＋10≥16，当且仅当＝b－9，即b＝12时取等号．此时a＝4，b＜9时无解．∴a＝4，b＝12.【答案】　4,129．已知0

19、解析】　将函数变形为：f(x)＝＋＝2010＋＋≥2010＋2.【答案】　2010＋2三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9.【证明】　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.等号成立的条件是a＝b＝c，故＋＋≥9.11．(广东六校联考)某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？

20、【解析】　设中间矩形区域的长，宽分别为xm，ym，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为，因为操场周长为400，所以2x＋2×＝400，即2x＋πy＝400，∴S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·2＝，由，解得.∴当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100m和m时，矩形区域面积最大．12．经过长期观测得到：在