【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第五章 第一节 平面向量的概念及运算课时提能精练 理

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1、(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有(　　)A．0个　　　　B．1个　　　　C．2个　　　　D．3个【解析】　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立，故选C.【答案】　C2．(辽宁高考)已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)A．2－B．－＋2C.－D．－－【解析】　方法一：如图，∵2＋＝0，∴＝－，∴＝＋

2、＝－＝－(－)＝2－.方法二：∵2＋＝0，∴2(－)＋(－)＝0∴2－2＋－＝0，∴＝2－.【答案】　A3．(福鼎模拟)O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足：＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的(　　)A．外心B．内心C．重心D．垂心【解析】　由＝＋λ(＋)，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，∴△ABC中BC的中线在直线AP上，故直线AP一定通过△ABC的重心．【答案】　C4．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　)A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a

3、－b－c＋d＝0【解析】　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝，即－＝－，又∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴b－a＝c－d，即a－b＋c－d＝0.【答案】　B5．(柳州模拟)已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是(　　)A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．1∶1【解析】　设AC的中点为D，则＋＝2，∴＋＋2＝2＋2＝0，∴＝－，即点O为AC边上的中线BD的中点，∴＝.【答案】　A6．(正定模拟)已知向量a、b、c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)A．aB．bC．cD．0【解析】　∵a＋b与c共

4、线，∴a＋b＝λ1c①又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a②由①得：b＝λ1c－a.∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，∴即，∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.【答案】　D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.【解析】　由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴，解得.【答案】　－8．(厦门模拟)过△ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，若＝x，＝y，xy≠0，则＋的值为________．【解析】　如图，题目中未说明是什么直线，可取特殊直线，令直线与BC平行，

5、则＝，＝，∴x＝y＝，∴＋＝＋＝3.【答案】　39．如图，

6、

7、＝1，

8、

9、＝，

10、

11、＝2，∠AOB＝∠BOC＝30°，用，表示，则＝________.【解析】　作的相反向量，过C作CD∥OB交直线OA′于D，作CE∥OD交直线OB于E，则＝＋，在△OCE中，CE＝2，OE＝2，∴＝2＝－2，＝2.∴＝－2＋2.【答案】　－2＋2三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．设i、j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，若点A、B、C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m、n的值．【解析】　＝－＝(n

12、＋2)i＋(1－m)j，＝－＝(5－n)i＋(－2)j.∵点A、B、C在同一条直线上，∴∥，即＝λ，∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i＋(－2)j]，∴，解得或.11．如图，已知在▱ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a、b分别表示、、.【解析】　＝＋＋＝b＋a＋＝a＋b－b＝a＋b，＝＋＋＝＋＋b－a＋(－b)＝－b－a，＝＋＝＋＝a＋b.12．设a、b是不共线的两个非零向量．(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；(3)设＝ma，＝nb，＝αa＋

13、βb，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.【解析】　(1)证明：∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，∴与共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线．(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.(3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ，∴＝＝a＋b.∵a、b不共线，∴∴＋＝＋＝1.