高二数学“每周一练”系列试题（26）

《高二数学“每周一练”系列试题（26）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、高二数学“每周一练”系列试题（26）（命题范围:双曲线）1．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．2．已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3,0），求

2、PA

3、的最小值．3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．4．已知双曲线的

4、中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求证：·＝0；（3）求△F1MF2面积．5．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝，直线l过A（a,0），B（0，－b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若·＝－23，求直线m的方程．参考答案1．解：（1）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）．由渐近线方程y＝±x，得＝．①又焦点在圆x2＋y2＝100上，知c＝10，即a2＋b2＝100．②由①②解得a＝6，b＝

5、8．∴所求双曲线方程为－＝1．（2）当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），由⇒∴所求双曲线方程为－＝1．综上，所求双曲线方程为－＝1或－＝1．2．解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x－2y＝0和x＋2y＝0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是·＝＝．故点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数．（2）设点P的坐标为（x，y），则

6、PA

7、2＝（x－3）2＋y2＝（x－3）2＋－1＝（x－）2＋，∵

8、x

9、≥2，∴当x＝时，

10、PA

11、2取得最小值，最小值为，即

12、PA

13、的最小值

14、为．3．解：（1）设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0）．由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1．（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将y＝kx＋代入－y2＝1，得（1－3k2）x2－6kx－9＝0．由题意知解得＜k＜1．∴当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．（3）由（2）得：xA＋xB＝，∴yA＋yB＝（kxA＋）＋（kxB＋）＝k（xA＋xB）＋2＝，∴AB的中点P的坐标为（，）．设直线l0的方程为：y＝－x＋b，将P点坐标代入直线l0的方程，得b＝．∵＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b＜－2．∴b的

15、取值范围为（－∞，－2）．4．解：（1）∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．∵过点（4，－），∴16－10＝λ，即λ＝6．∴双曲线方程为x2－y2＝6．（2）证明：法一：由（1）可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1（－2，0），F2（2，0），∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－．∵点（3，m）在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2．∴·＝0．法二：∵＝（－3－2，－m），＝（2－3，－m），∴·＝（3＋2）×（3－2）＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0

16、．（3）△F1MF2的底

17、F1F2

18、＝4，由（2）知m＝±．∴△F1MF2的高h＝

19、m

20、＝，∴S△F1MF2＝6．5．解：（1）依题意，l方程＋＝1，即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为，得＝＝，又e＝＝，∴b＝1，a＝．故所求双曲线方程为－y2＝1．（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1－3k2）x2＋6kx－6＝0．①依题意，1－3k2≠0，由根与系数关系，知x1＋x2＝，x1x2＝·＝（x1，y1）·（x2，y2）＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1－1）（k

21、x2－1）＝（1＋k2）x1x2－k（x1＋x2）＋1＝－＋1＝＋1．又∵·＝－23，∴＋1＝－23，k＝±，当k＝±时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y＝x－1或y＝－x－1．