高考数学复习点拨 例谈圆锥曲线的应用

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1、例谈圆锥曲线的应用圆锥曲线在生产和日常生活中有许多重要的应用．为了解决与椭圆、双曲线、抛物线有关的实际问题，首先要把实际问题数学化；其次，利用已有的知识，选择适当的数学方法，求出数学模型的解答；最后利用现实问题的各种信息检验所得到的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学建模的准确性．那么，如何对实际问题进行数学抽象，如何通过选择适当的方法使问题变得简单，请关注本文例题的讲解．1．椭圆型例1小河上有一座悬吊在半椭圆形钢拱上的小桥，其侧面如图1所示．地面上两点是椭圆长轴的端点，与地面平行的桥面长为9．42米，是两根高为1米且与地面垂直的支柱，引桥的坡度为，且米．求此椭圆

2、形钢拱的跨度及拱的最高点到地平面的距离．（精确到0．1米）解：以及拱的最高点到地平面的距离．（精确到0．1米）解：以中点为原点，拱桥的对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．由题意知，，（米）．设钢拱所在的椭圆标准方程为，将带入，解得（米）．所以钢拱的跨度约为10．0米，其最高点到地平面的距离约为3．0米．评注：解决本题的关键是能够根据提供的数据信息挖掘出图形当中的数量关系，求出椭圆的方程．2．双曲线型例2如图2，Ｂ地在Ａ地的正东方向４km处，Ｃ地在Ｂ地的北偏30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处

3、Ｍ建一座码头，向Ｂ，Ｃ两地转运货物．经测算，从Ｍ到Ｂ，C修建公路的费用分别是万元/km，万元/km，求修建这两条公路的最低总费用．解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴，建立坐标系，则，据题意知为双曲线的一支，由，可得双曲线方程为，其中．正好修费用为万元／千米，修为万元／千米，过作准线的垂线，垂足为，此时最短，即最小，也即最小，故所求费用最低为万元．评注：本题关键是根据所给情景材料辨认出相应的几何模型，进而根据曲线的性质和平几知识求最值．3．抛物线型例3在我国的古运河上建有许多形状相同的抛物线型拱桥（从上游到下游标记，），经测量知，相邻两座桥之间的距离近似满足，这些拱桥当

4、水面距拱顶5米时，拱洞水面宽为8米，每年汛期，船公都要考虑拱桥的通行问题，一只装有防汛器材的船，露出水面部分的高为0．75米，宽为４米．（1）要使该船能顺利通过拱桥，试问水面距拱顶的高度必须达到几米？（2）已知河水每小时上涨0．15米，船在静水中的速度为0．4米/秒，水流速度为15米/分，若船从桥起锚顺水航行时，河水开始上涨，试问船将在哪座桥可能受阻？（）解：（1）取抛物线型拱桥的拱顶为坐标原点，拱桥的对称轴所在直线为y轴，建立直角坐标系．设当水面涨到与抛物线拱顶相距h米时，船不能通行．设抛物线的方程为．在此抛物线上，，抛物线的方程为．当船不能通行时，设船宽等于，点横

5、坐标为2，问题转化为求抛物线上点的纵坐标，然后求．将带入方程得，．因此，水面距拱顶至少2米，船才能顺利通过桥．（2）河水水面由距离拱顶5米上升到2米需小时，桥到桥的距离．船顺水航行速度米／小时，在这段时间内，船航行的路程米．由，解得，故取时，此时，船在桥受阻．评注：本题是以抛物线为背景，考查了曲线与方程、数列等有关知识．本质是对生活语言的理解、抽象和转化为数学语言的能力．