高考数学复习点拨 构建函数模型求解实际问题

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1、构建函数模型求解实际问题　　函数的实际应用是中学数学的一个重要内容，与函数有关的应用题，经常涉及利润，路程，产值，环保，造价，增长率等实际问题．解答这类问题的关键是弄清概念，构建相关的数学模型，将实际问题转化成数学问题来处理．本文就构建函数模型求解实际问题例说如下：１．构建一次函数模型解决实际问题例１某厂在甲、乙两地的两个分厂生产某种机器12台和6台，现销售给Ａ地10台，Ｂ地８台，已知从甲地调运一台到Ａ地、Ｂ地的费用分别是400元和800元，从乙地调运一台至Ａ地、Ｂ地的费用分别是300元和500元．（１）设从乙地要调运台至Ａ地，求总费用关于的函数关系式；（２）求若使总费用

2、不超过9000元，问共有几种调运方案？（３）求出总费用最低的调运方案及最低的费用．　　解：（１）因从乙地调运台到Ａ地，那么需从甲地调运（10－）台至Ａ地；由题意，从乙地调往Ｂ地为（6－）台，则从甲地调往Ｂ地应为［12－（10－）］台，即（2＋）台．从而有＝300＋500（6－）＋400（10－）＋800（2＋）　＝＋43）　（0≤≤6，且）（２）当0≤≤2时，≤9000，故共有3种调运方案，总费用不超过9000元．（３）在（１）中，当＝0时，费用最低，调运方案是：乙地6台全部调往Ｂ地，甲地调2台至Ｂ地，10台运往Ａ地，使总费用最低为＝8600元．２．构建二次函数模型解决实

3、际问题例２某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在它采用提高销售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每涨１元，其销售数就减少10个．问他将售出价定为多少，才能使赚得利润最大？分析：利润＝销售总额－进货总额解：设每件提价元（≥０），利润为元．每天销售额为（10＋）（100－10）元，进货总额为8（100－10）．显然，100－10＞０，＜10．＝（10＋）（100－10）－8（100－10）（０≤＜10）ｘｙＯ410　＝（2＋）（100－10）＝－10＋360当＝4时，＝360元．故当售出价为每件14元时，每天所赚得的利润最大为36

4、0元．说明：画出函数＝－10＋360　（0≤＜10）的图形，从图象可以看出，当提价超过4元时，利润下降，当利润下降时商人就要考虑经营的方法，不应只考虑提价，而要降价，薄利多销．３．构建分段函数模型解决实际问题例３．“依法纳税是每个公民应尽的义务”，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的：总收入不超过1000元的，免征个人工资薪金所得税；超过1000元的部分需征税．设全月纳税所得额（所得额指工资，薪金中应纳税的部分）为，＝全月收入－1000元，税率见下表：　　　级数　　　　　　全月纳税所得额　　　　　　　税率　　　　１　　　　　　不超过500元部分　　　　　　　５℅　　　

5、　２　　　　　超过500元至元部分　　　　　10℅　　　　３　　　　　超过元至5000元部分　　　　　15℅　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　９　　　　　　超过100000部分　　　　　　　　45℅（１）若应纳税额为，试用分段函数表示１—３级纳税额的计算公式；　　（２）某人10月份工资总收入为4，试计算这个人10月份应纳个人所得税多少元？分析：本题是分段累进计算问题．应注意分清段，计算清楚．（１）依税率表得：第一段：·５℅第二段：（－500）×10℅＋500×5℅第三段：（－）×15℅＋1500×10℅＋500×5℅即＝（２）这个人10月份个人所

6、得税为：＝41000＝3＝（3）＋175＝355（元）答：这个人10月份应缴纳个人所得税355元．４．构建指数函数模型解决实际问题例４　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为℅，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到1（精确到１年）.分析：本题属于人口增长率问题，第（２）小题要取常用对数计算．解：（１）１年后该城市人口总数为：＝100＋100×℅＝100（１＋℅）２年后该城市人口总数为：＝100（１＋℅）＋100（１＋℅）×℅＝100３年后该城市人口总数为：＝100＋100×℅＝10

7、0……年后该城市人口总数为：＝100（2）设年后该城市人口将达到1，即100＝1　　,两边取常用对数得：＝（年）答：大约以后该城市人口将达到1.