高考数学 复习点拨 抛物线方程的创新应用

《高考数学 复习点拨 抛物线方程的创新应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、抛物线方程的创新应用在求解某些代数问题时，若能恰当的构造曲线方程，数形结合，不但能使解题过程简捷，而且思维能力也将得到提高．下面以抛物线为例加以说明．例１　若关于的方程有两个不相等的实根，求的范围．分析：此题用代数法求解非常复杂，如果改变思路，利用方程所能联想的几何图形，采用数形结合的方法，通过图形把方程的解的个数转化为两曲线交点的个数求解．ｙＯ图１ｙ＝ｘｙ＝ｘ＋（1，1）解：设和，则问题转化为抛物线和直线在轴上方（含轴）的部分（∵≥０）有两个交点时，直线中的取值范围问题．由图１可知，直线与抛物线相切时，只有一个公共点，此时可求得＝．ｘ又直线过原点，即＝０时，有两个公共点．∴

2、［０，］．评注：解此题的关键是曲线与直线方程的构造，这种解比较直观、简洁，是用数形结合解题的很好例子．例２　解方程分析：解此题可从两个根式的几何意义入手，两根式可变为：，所以两个根式可看成点（）至点（3，2）和点（0，1）的距离，因此，方程从几何意义可解释为动点P（）与两定点A（3，2）和点B（0，1）的距离之差，而点P在抛物线上，从而可在图2上直观的的出解．解：原方程可化为－=，方程左边为点P（）与两定点A（3，2）和点B（0，1）的距离之差，而点P在抛物线的图像上，，故P为AB的延长线和抛物线的交点，AB的方程为，解方程组得，，ｙｘＯＰ图２ＢA由图可知，∴原方程的解为评注

3、：此题直接解方程比较困难，但通过恰当的构造抛物线与直线，根据两点间的距离正好为，可从图中直接求解，即直观又简洁．例３　已知实数、满足，求证．分析：由于，满足，则可将点（，）看作抛物线上的点，焦点为（1，0），则问题转化抛物线上的点到定点A（2，1）与到焦点（1，0）的距离之和不小于3的问题。证明：∵ｙｘＯＰ(a,b)FA(2,1)BＱ图３　∴点P(,)为抛物线上的点,抛物线的焦点为F(1,0)，定点A(2,1)．则．由点Ｐ、Ａ向抛物线的准线作垂线，垂足分别为Ｑ、Ｂ（如图３），由抛物线定义，知　而，故．当且仅当Ａ、Ｐ、Ｂ三点共线时等号成立．∴．评注：本题若直接考虑不等式，则很难

4、得出结论，利用转化思想将代数问题几何化，体现了解几种数形结合的能力．