高考数学复习点拨 谈谈“充要条件”问题的证明

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1、谈谈“充要条件”问题的证明在期末复习时，出现这样一道练习题：已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是．学生在证明过程中暴露出许多意想不到的错误，总结一下大概有这么三个问题：(1)解题很不规范，因为有关充要条件的证明通常要分两个方面（最好标明①必要性．②充分性）来书写过程，最后还应该有一个“综上所述”来肯定一下所证的问题．然而有不少学生没有这样分步表达，而是眉毛胡子一把抓，凌乱不堪．(2)这道题本身就可看作是不等式的一个性质，有些学生用这性质来证这个性质，出现循环论证，以致过程太简洁，只写了几个式子．(3)有些学生试图想通过等价性来证明问题，然而也由于心有想而没说

2、出或说不出，没有使用“”符号来叙述证题过程，而只证了一个方面就结束了．出现上面这些问题的原因是：书上没有相关例题示范，教师在课堂上也很少讲（不是没讲过，而是讲得少）相关例题．此处为弥补证明“充要条件”这一不足，特举几例细说之．上面练习题的解答：证明：(1)必要性．由　得　　即　又由得，　　所以　．(2)充分性．由及得　　　即．综上所述：的充要条件是．评注：(1)要证明命题的条件是充要的，必须要证两个方面，即既证明原命题成立，也证它的逆命题成立，证明原命题成立即证明条件的充分性，证明逆命题成立即证明条件的必要性．(2)区分“充分性”与“必要性”的方法：利用“Ａ的充

3、要条件是Ｂ”与“Ａ的充分（不必要）条件是Ｂ”中“Ｂ是Ａ的充分条件”的一致性，可以断定：由Ｂ证出Ａ是“充分性”，通俗地说“后推出前”是“充分性”．(3)如果分不清两方面中哪方面是充分性还是必要性，那么不写出“充分性”与“必要性”等文字也可以，但要标注(1)，(2)．当然如果采用“”符号来叙述证题过程，就不好再分两个方面了．(4)对于充要条件，要熟悉它的同义词语：“当且仅当”，“等价于”，“…反之也成立”“需且只需”“原命题成立，逆命题也成立”，立几中的“确定”等等。下面再看两个例子：例１：已知函数，当p,q满足p+q=1时,试证明:pf(x)+qf(y)≥f(px

4、+　qy)对于任意实数x,y都成立的充要条件是0≤p≤1.证明：由于以及p+q=1．所以　pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)pf(x)+qf(y)－f(px+qy)≥０p()+q()-[]≥０(－)+(－)-≥０+-≥０≥０.因为此式对任意实数x,y都成立，所以≥０≥０≥０．　所以　　pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)．综上所述：原命题得证．例２：已知f(t)是t的函数，定义域为Ｒ．(1)求证：如果直线L：f(t)x+y+t=0过定点，那么f(t)是t的一次函数．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真假，并说明理由．　解：(1)证明：设直线L：f

5、(t)x+y+t=0过定点（），则，由于此式对任意实数都成立，所以，所以．这是的一次函数．(2)．(1)中命题的逆命题为：如果f(t)是t的一次函数，那么直线L：f(t)x+y+t=0过定点．这是一个真命题．理由如下：设（），则有　即，由于此式对任意实数都成立，所以，所以，，所以直线L：f(t)x+y+t=0过定点．评注：例１利用“”性来证题，简洁．例２实质证明了一个充要条件的问题．