高考数学复习点拨 充要条件所涉及的问题及解法

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1、充要条件所涉及的问题及解法充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p则q”形式的命题为真时，就记作pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据

2、，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).下面例举几例加以说明.例1．已知p：

3、1－

4、≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价

5、命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:

6、1－

7、≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*∵p是q的充分不必要条件，∴不等式

8、1－

9、≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集.又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m∴，∴m≥9，∴实数m的取值范围是［9，+∞.评述：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转

10、化，使同学们对充要条件的难理解变得简单明了.例2．已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.分析：由an=关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a1=S1=p+q.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－1(p－1)，∵p≠0,p≠1,∴=p若{an}为等比数列，则=p，∴=p,∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1，这是{an}为等比数列的必要条件.下面证明q=－1是{an}为等比数列的充分条件.当q=－1时，∴Sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=S1=p－1当

11、n≥2时，an=Sn－Sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)∴an=(p－1)pn－1(p≠0,p≠1)，=p为常数∴q=－1时，数列{an}为等比数列.即数列{an}是等比数列的充要条件为q=－1.评述：本题重点考查充要条件的概念，以等比数列的判定为主线，解答时应抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.