高考数学复习点拨 直线与圆位置关系的巧引妙用

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1、直线与圆位置关系的巧引妙用我们知道，直线与圆的位置关系有：相离、相切、相交三种．若设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．在解题中，如果我们适时的利用直线与圆的位置关系，可以简捷、巧妙的解决许多问题．下面举例说明它的若干应用．一、求解集合问题例1　对于集合，，如果，则与此同时的大小关系是　　　　　．解析：集合表示的图形是圆；集合表示的图形是直线．由可知，直线和圆没有公共点，所以，圆心到直线的距离大于圆的半径．从而有，即．二、求函数的值域或最值问题例2　若，，则的最小值为　　　　　　．解析：令，则方程表示一个圆，又，由

2、直线和圆有公共点，有，解得．所以的最小值为8．例3已知实数满足，求的取值范围．解析：，它的几何意义是圆上的动点与定点连线的斜率，从而原题也就是求当直线与圆有公共点时，动直线斜率的取值范围．又直线的方程为，由直线与圆有公共点，有，解得．三、证明不等式问题例3设，实数满足，，求证：．证明：由于实数满足，，则直线与圆必有公共点．所以，圆心到直线的距离不超过圆的半径，即，解得．类似可得，．四、求解斜率、一次函数问题例4已知直线经过点且与圆相切，求直线的斜率．解析：常规方法是联立直线与圆的方程，利用判别式求解，但计算量大．由题意易知，存在且不为0．若设的斜率为，则的方程为．由直线与圆相切，圆

3、心到直线的距离等于半径，有，由此解得．与解方程相比，此解法更加简捷明快．五、讨论方程及其解的问题例5问在什么范围内，关于的方程组有实数解？解析：方程表示圆；表示直线．从而原方程组有解，转化为直线与圆有公共点．从而有，解得．