江苏省南京市高三数学二轮专题复习 函数与导数

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1、函数与导数二轮复习建议函数是高中数学主线，在高考中，该部分内容是考试的重点和热点，不仅独立地考查该部分内容，还常常与其它内容相综合进行考查．在江苏高考文理共用卷前160分试题中，函数的填空题通常2～3题（为3题、2题、3题）；函数解答题每年各考1道，通常是压轴题．基本题型一：考查函数基本性质例1（安徽）若集合A＝｛x︱logx≥｝，则∁RA＝________________．【解析】A＝｛x︱0≤x≤｝得∁RA＝(－∞，0]∪(，＋∞)．说明：本题考查对数函数的性质与集合相关运算．例2（江苏）设函数f(x)=x(ex＋ae－x)（x∈R）

2、是偶函数，则实数a＝_______．【解析】可以由g(x)=ex+ae－x为奇函数，得g(0)=0，从而解得a=－1；或者由奇函数定义解得．说明：本题考查函数的奇偶性的知识．在解决函数奇偶性问题时，应灵活地运用函数奇偶性相关性质来解题．如：①若奇函数定义域包含0，则f(0)＝0；②函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称．例3（江苏）已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为．【解析】a＝∈(0，1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)>f(n)，得m

3、，“指（对）数函数的图像和性质”是B级要求，高考中考查可能性较大．例4（江苏卷）已知函数f（x）＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是．【解析】x∈(－1，－1)说明：分段函数是高考经常考的内容之一．在解决分段函数问题时，要注意数形结合、分类讨论思想的运用．例5（全国Ⅰ卷）直线y＝1与曲线y＝x2－

4、x

5、＋a有四个交点，则a的取值范围_______．【解析】先由函数y＝x2－

6、x

7、＋a是偶函数，然后作图可得a∈(1，)说明：本题考查利用“数形结合思想”来解决问题．例6（江苏卷）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线

8、剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝（00，所以函数S(x)递增；故当x＝时，S的最小值是．（方法二）本题也可以借用y＝x＋性质求最小值．【说明】（1）“函数模型及其应用”为B级要求，在填空题中经常考1道函数模型的应用题．（2）本题考察函数的建模、求其值域问题．对于“”型(其中函数f(x)，g(x)一个为1次、一

9、个为2次）求值域问题，要能够熟练地、多角度地求解．基本策略：1、“函数与基本初等函数”共有6个B级点，应加强对这些B级点研究（这些B级点在历年高考试题中通常考2～3小题）．2、在研究函数性质时既要注意通性通法又要注意有关性质的灵活运用．如单调性证明可以通过定义、求导来解决；对于函数的奇偶性，不仅要掌握奇偶性判断的基本步骤，还能够利用奇偶性的性质灵活地解题；对于函数的值域，要能够熟练地掌握基本方法（如配方法求二次函数值域、利用函数的图像、单调性、导数、基本不等式、换元法等方法求值域）．3、函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点

10、和落脚点，比如奇偶性与单调性联系、对称性与单调性联系，利用函数的图象研究函数性质，利用性质作图研究方程的根和不等式解集等问题，是历年高考的热点之一．4、注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用．5、建议进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练．基本题型二：考查导数的概念及其运用例7（江苏）函数f(x)＝x3―15x2―33x＋6单调减区间为．【解析】f′(x)＝3(x－11)(x+1)，由f′(x)<0可知：函数f(x)的单调减区间为（－1，11）．说明：本题考查利用导数求函数的单调区

11、间．例8（江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.【解析】y′＝3x2－10＝2，得x＝2，－2，又因为点P在第二象限内，点P的坐标为（－2，15）．说明：本题考查导数的几何意义——运用导数求切线，求曲线的切线又包括由切点求切线、由经过的点求切线．例9（江苏）函数y＝x2(x＞0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1＋a3＋a5=．【解析】在点(ak,ak2)处的切线方程为y－ak2＝2ak

12、(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak+1＝，所以，a1＋a3＋a5=21．说明：本题考查利用导数求曲线的切线与数列的综合运用．例10（江苏）f(x)＝ax3―3x＋1对于x∈[－1，1