高考数学二轮专题 空间向量与立体几何针对训练 理

高考数学二轮专题 空间向量与立体几何针对训练 理

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1、空间向量与立体几何一、选择题1.若不同直线l1,l2的方向向量分别为μ,v,则下列直线l1,l2中既不平行也不垂直的是(  )A.μ=(1,2,-1),v=(0,2,4)B.μ=(3,0,-1),v=(0,0,2)C.μ=(0,2,-3),v=(0,-2,3)D.μ=(1,6,0),v=(0,0,-4)解析:选B.A项中μ·v=0+4-4=0,∴l1⊥l2;C项中μ=-v,∴μ,v共线,故l1∥l2;D项中,μ·v=0+0+0=0,∴l1⊥l2,故选B.2.设A、B、C、D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的

2、形状是(  )A.钝角三角形      B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定解析:选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=2>0,同理·>0,·>0,∴△BCD是锐角三角形,故选C.3.如图所示,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为(  )A.B.C.D.解析:选D.如图所示,连接A1C1,∵AA1⊥平面A1B1C1D1,∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的平面角.而AC1==3,∴sin∠AC1A1==.4.(高考辽宁卷)如图,四棱

3、锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(  )A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:选D.易证AC⊥平面SBD,因而AC⊥SB,A正确;AB∥DC,DC⊂平面SCD,故AB∥平面SCD,B正确;由于SA,SC与平面SBD的相对位置一样,因而所成的角相同.5.菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=2,∠BCD=60°,现将其沿对角线BD折成直二面角ABDC(如图),则异面直线AB与CD所成角的余

4、弦值为(  )A.B.C.D.解析:选C.·=(+)·(+)=0+0+0-1=-1,而

5、

6、=

7、

8、=2,∴cos〈,〉==-,故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选C.二、填空题6.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E、F分别是底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,若+λ=0,则λ=________.解析:连接A1D、C1D,A1C1,则EF綊A1D,故=,即λ=-.答案:-7.如图所示,已知直三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________.解析

9、:不妨设三棱柱ABC—A1B1C1的棱长为2,建立如图所示空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(,-1,0),B1(,1,2),D,则=,=(,1,2).设平面B1DC的法向量为n=(x,y,1),由解得n=(-,1,1).又∵=,∴sinθ=

10、cos〈,n〉

11、=.答案:8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上,当∠APC最大时,三棱锥PABC的体积为________.解析:如图,以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系,设=λ1(0≤λ≤1),可得P(λ,λ,λ),再由cos

12、∠APC=可求得当λ=时,∠APC最大,故VPABC=××1×1×=,故填.答案:三、解答题9.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.解:(1)证明:因为AC是圆O的直径,所以∠ABC=90°,又∠BAC=30°,AC=4,所以AB=2,而BM⊥AC,易得AM=3,BM=.如图,以A为坐标原点,垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐

13、标系.由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B(,3,0),F(0,4,1),∴=(0,-3,3),=(-,1,1).由·=(0,-3,3)·(-,1,1)=0,得⊥,∴EM⊥BF.(2)由(1)知=(-,-3,3),=(-,1,1).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),由n·=0,n·=0,得,令x=得y=1,z=2,∴n=(,1,2),由已知EA⊥平面ABC,所以平面ABC的一个法向量为=(0,0,3),设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ,则cosθ=

14、cos〈n,〉

15、==,故平面BEF与平

16、面ABC所成的锐二面角的余弦值为.10.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,其中BC=2AB=2PA=6,M,N为侧棱PC上的两个三等分点,如图所示.(1)求证:AN∥平面M

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